Задание 5049

Решение:
Если то уравнение  задаёт окружность  с центром в точке и радиусом 3, а если то оно задаёт окружность с центром в точке и таким же радиусом (см. рисунок). 
При положительных значениях a уравнение  задаёт окружность  с центром в точке  и радиусом a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения a, при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей  и  

Из точки C проведём луч  и обозначим через и точки его пересечения с окружностью где лежит между и Так как 

то 
При или окружности и не пересекаются. 
При окружности и имеют две общие точки.
При или окружности и касаются. 
Из точки проведём луч и обозначим через и точки его пересечения с окружностью где лежит между и Так как 

то
При или окружности и не пересекаются.
При окружности и имеют две общие точки. 
При или окружности и касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как то условию задачи удовлетворяют только числа и 

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но
– или в ответ включены также и одно-два неверных значения;
– или решение недостаточно обосновано - 3 балла
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра- 2 балла
Задача сведена к исследованию:
– или взаимного расположения трёх окружностей;
– или двух квадратных уравнений с параметром - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)