Задание 5209

Решение:

а) Обозначим через и углы  и соответственно. Тогда углы  и равны  и  соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол  равен  Такая же величина вертикального угла  По условию около четырёхугольника можно описать окружность. Следовательно, угол дополняет угол до сумму углов и Следовательно,  откуда  Значит, угол равен
б) Поскольку точка является точкой пересечения биссектрис и она также лежит на биссектрисе угла и является центром вписанной окружности в треугольник  Значит, радиус этой окружности равен длине перпендикуляра опущенного из этой точки на сторону По доказанному, угол равен половине угла то есть он равен В прямоугольном треугольнике против угла в лежит катет Следовательно, 
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна 

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 125

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)