Задание 5231
Вопрос
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке 
Вершины 
и 
равнобедренного прямоугольного треугольника 
с прямым углом 
лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая 
вторично пересекает бóльшую окружность в точке 
а прямая 
вторично пересекает меньшую окружность в точке 
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите 
если радиусы окружностей равны 2 и 
Решение:
а) Пусть 
- общая касательная двух окружностей, причём точки 
и 
лежат по разные стороны от прямой 
а точки и 
лежат по разные стороны от точки 
Тогда по теореме об угле между касательной и хордой
Значит, прямые 
и 
параллельны, поскольку накрест лежащие углы 
и 
при пересечении этих прямых прямой 
равны.
б) Поскольку угол 
прямой, и - диаметры меньшей и большей окружностей соответственно.
Поскольку 
прямоугольные треугольники 
и 
подобны по острому углу с коэффициентом подобия 
Пусть 
тогда 
В прямоугольном треугольнике 
откуда 
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
Темы: Окружности и четырехугольники
Разделы: Планиметрия второй части