Задание 5538
Вопрос
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какойто юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Решение:
Пусть 
юношей отправили 5 писем и у юношей отправили 16 писем, тогда количество девушек равно 
(так как по условию в группе порону юношей и девушек) и количество отправленных писем равно 
а) Необходимо узнать имеет ли смысл уравнение:
Получаем 9 юношей отправили 5 писем и 2 отправили 16.
писем.
человек (юношей и девушек) значит 11 девушек получили по 7 писем.
Да, могло.
б) Необходимо доказать, что 5x+16y делится без остатка на 
Пусть девушки получили 
писем, тогда 
Заметим, что 
должно делиться на 
а 
на 
Таким образом 
а 
(
и 
- должны быть минимальны т. е 1).
получаем 
Тогда количество девушек 
в) Пусть 
юношей отправили 5 писем и 
юношей отправили 16 писем, получаем 
а число писем, которые получили нужно найти с помощью прогрессии.
Так как все количества разные и начинаются с нуля (так как письмо могут и не получить) и с шагом равным 1, чтобы количество девушек было максимальным.
Таким образом 
Получаем неравенство:
Т. е 
Проверим 32:
- Невозможно так как юношей не менее двух.
Проверим 31:
т. е 
Получаем 
письма.
Таким образом наибольшее количество девушек = 31.
Ответ: а) да б) 11 в) 31
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
Темы: Сюжетные задачи
Разделы: Задачи на теорию чисел