Открытый банк заданий по ЕГЭ

Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине Ребро является высотой пирамиды. Точки и  лежат на рёбрах и соответственно так, что  Плоскость проходит через точки и перпендикулярно прямой и пересекает рёбра и в точках и соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите объём многогранника если объём пирамиды равен 125.

Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине Ребро является высотой пирамиды. Точки и  лежат на рёбрах и соответственно так, что  Плоскость проходит через точки и перпендикулярно прямой и пересекает рёбра и в точках и соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите объём многогранника если объём пирамиды равен 216.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро SA равно 6. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём Плоскость содержит прямую и параллельна прямой
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой
б) Найдите угол между плоскостями и

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём Плоскость содержит прямую и параллельна прямой
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой
б) Найдите угол между плоскостями и

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10, а боковое ребро равно 6. На рёбрах  и отмечены точки и соответственно, причём Плоскость содержит прямую и параллельна прямой
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой
б) Найдите угол между плоскостями и

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём Плоскость содержит прямую и параллельна прямой
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой
б) Найдите угол между плоскостями и

В прямоугольном параллелепипеде  через середину диагонали  проведена плоскость перпендикулярно этой диагонали,
а) Докажите, что плоскость содержит точку
б) Найдите отношение, в котором плоскость делит ребро

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а
а) Докажите, что
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём Найдите площадь сечения MNB.

В основании прямой призмы  лежит равнобедренная трапеция  с основаниями  и Точка  делит ребро  в отношении  а точка — середина ребра 
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой
б) Найдите тангенс угла между плоскостью и плоскостью основания призмы, если

Дана четырехугольная пирамида  в основании которой лежит ромб со стороной 10. Известно, что  

а) Докажите, что ребро перпендикулярно плоскости основания пирамиды

б) Найдите расстояние между прямыми  и 

В треугольной пирамиде c основанием известно, что  Основанием высоты этой пирамиды является точка Прямые и перпендикулярны.
a) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды

На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём  Четырёхугольник KLMN — квадрат со стороной 2. 
а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны. 
б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.

В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник  На прямой отмечена точка так, что точка — середина отрезка  На прямой отмечена точка так, что — середина отрезка
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми и  если  

Ребро куба равно 30. На ребре  отмечена точка  так, что   а на ребре отмечена точка  - середина  причём плоскость  пересекает ребро в точке .
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки  до плоскости

Точка F — середина бокового ребра SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, точка M лежит на стороне основания AB. Плоскость  проходит через точки F и M параллельно боковому ребру SC.
а) Плоскость  пересекает ребро SD в точке K. Докажите, что BM : MA = DK : KS.
б) Пусть BM : MA = 3 : 1. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость  разбивает пирамиду.

Дана пирамида SABC, в которой  
а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.
б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер AA₁ и A₁C₁ соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны. 
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁.

Какие суждения, относящиеся к схеме, являются верными? Запишите цифры, под которыми они указаны. 

Из сочинения современника.

   «Вернёмся к                , короновавшемуся царём… и мирно вкушавшему власть в большем благоденствии, чем любой из его предшественников, каковой изменил обычную манеру, заключавшуюся в том, чтобы выслушивать прошения и обращения каждого особо, ибо вместо этого он скрывался, нечасто показываясь народу, и с гораздо большими церемониями и препонами, чем любой из его предшественников. У него были сын… и дочь. Тогда он начал действовать с целью породниться с какими-нибудь чужеземными государями, чтобы утвердиться на царском троне самому и закрепить его за своим родом. Кроме того, он начал ссылать тех, кто был для него подозрителен, и заключал браки так, по своему усмотрению, соединяя свойством со своим домом тех, кем надеялся воспользоваться; и в городе Москве осталось лишь пять или шесть домов, с которыми он не породнился, а именно дом Мстиславского, неженатого и имевшего двух сестёр, одна из которых вышла за царя Симеона, другую, незамужнюю, он против её воли сделал монахиней и не позволил сказанному Мстиславскому жениться. Затем был дом Шуйских, их было три брата; чтобы породниться со сказанным домом, он выдал за среднего брата по имени Димитрий сестру своей жены, не дозволяя жениться старшему, князю Василию Ивановичу Шуйскому, ныне правящему в Московии, о котором будет пространно рассказано позднее, из опасения, чтобы какие-нибудь дома, соединившись, вместе не оказали бы ему сопротивления. В конце концов он отправил в ссылку царя Симеона… женатого на сестре указанного Мстиславского. Когда тот был в ссылке, этот царь                 послал ему в день своего рождения, день, широко празднуемый по всей России, письмо, в котором обнадёживал его скорым прощением, и тот, кто доставил письмо вместе с одновременно посланным испанским вином, велел ему и его слуге выпить за здоровье царя, и спустя немного времени они ослепли, а указанный царь Симеон и поныне слеп, этот рассказ я слышал из его собственных уст».

Какими способами согласно тексту царь, о котором идёт речь, пытался утвердиться на троне и закрепить его за своим родом? Укажите три любых способа. При ответе избегайте цитирования избыточного текста, не содержащего положений, которые должны быть приведены по условию задания.

Прочтите отрывок из исторического источника и выполните задание. 

Из доклада Генерального секретаря ЦК КПСС

   «За десять месяцев, оставшихся до съезда, предстоит всесторонне проанализировать и реалистически оценить итоги проделанного после XXVI съезда КПСС, определить перспективы дальнейшего развития, задачи внутренней и внешней политики…

   Предстоящий XXVII съезд КПСС, безусловно, станет этапной вехой в развитии страны. Его значение определяется первостепенной важностью выносимых на обсуждение вопросов, характером переживаемого периода, новизной и масштабностью встающих перед обществом задач. Это придаёт всей предсъездовской работе партии особое звучание, требует глубокого осмысления сложившейся ситуации, смелых решений и энергичных действий…

   В качестве главного стратегического рычага интенсификации народного хозяйства, лучшего использования накопленного потенциала партия выдвигает на первый план кардинальное ускорение научнотехнического прогресса…

   Решающее слово здесь – за машиностроением. Его развитию необходимо придать приоритетный характер, и уже в двенадцатой пятилетке в полтора-два раза ускорить темпы роста отрасли. Главная задача – быстро перейти на производство новых поколений машин и оборудования, которые способны обеспечить внедрение прогрессивной технологии, многократно повысить производительность труда…

   Ускорение научно-технического прогресса и роста эффективности производства неотделимо от решительного улучшения качества продукции. Несоответствие её современным технико-экономическим, эстетическим – всем потребительским требованиям, а порой и явный брак – это, по сути дела, расхищение материальных ресурсов, растрата труда нашего народа.

   Жизнь предъявляет более высокие требования к планированию, являющемуся сердцевиной управления. Оно должно стать активным рычагом интенсификации производства, осуществления прогрессивных хозяйственных решений, обеспечивать сбалансированный и динамичный рост экономики.

   Особенно актуален сегодня вопрос об укреплении порядка и дисциплины. Это – настоятельное требование дня, которое советские люди понимают широко, включая сюда порядок на производстве и в сфере обслуживания, в общественной жизни и в быту, в каждой трудовой ячейке, в каждом городе, в каждом селе».

Какие пути интенсификации экономического развития сформулированы в этом документе? Укажите любые три пути. При ответе избегайте цитирования избыточного текста, не содержащего положений, которые должны быть приведены по условию задания.

Прочтите отрывок из исторического источника и выполните задание.

Из послания российского монарха

   «Когда же мы Божьей волей с крестоносной хоругвью всего православного христианского воинства ради защиты православных христиан двинулись на Казань, и одержали победу над Казанью, и со всем войском невредимые возвращались восвояси, что могу вспомнить о добре, сделанном нам людьми, которых ты называешь мучениками? А вот что: как пленника, посадив в судно, везли с малым числом людей сквозь безбожную и неверную землю! Если бы рука Всевышнего не защитила меня, смиренного, наверняка бы я жизни лишился. 

   Когда же вернулись мы в царствующий град Москву, Бог дал нам тогда наследника – сына Дмитрия; когда же, немного времени спустя, я, как бывает с людьми, сильно занемог, то те, кого ты называешь доброжелателями, с попом Сильвестром и вашим начальником Алексеем Адашевым решили, что мы уже в небытии и, забыв наши благодеяния, а того более, души свои и присягу нашему отцу и нам – не искать себе иного государя, кроме наших детей, решили посадить на престол нашего отдалённого родственника князя Владимира, а младенца нашего хотели погубить, подобно Ироду…

   Когда же мы, по Божью милосердию, всё узнали и полностью уразумели и замысел этот рассыпался в прах, поп Сильвестр и Алексей Адашев и после этого не перестали жесточайше притеснять нас и давать злые советы, под разными предлогами изгоняли наших доброжелателей, во всём потакали князю Владимиру, преследовали лютой ненавистью нашу царицу Анастасию и уподобляли её всем нечестивым царицам, а про детей наших и вспомнить не желали.

   А после этого собака и давний изменник, князь Семён Ростовский, который был принят нами в Думу не за свои достоинства, а по нашей милости, изменнически выдал наши замыслы литовским послам, пану Станиславу Довойне с товарищами, и поносил перед ними нас, нашу царицу и наших детей…»

Какие обвинения автор выдвигает в адрес своих приближённых в данном документе? Укажите любые три обвинения. При ответе избегайте цитирования избыточного текста, не содержащего положений, которые должны быть приведены по условию задания.