Задание 5228

Решение:

а) Пусть прямая пересекает плоскость  в точке (рис. 1), а - высота пирамиды Поскольку пирамида правильная, центр квадрата совпадает с точкой Значит, прямая лежит в плоскости (рис. 2). Следовательно, плоскость перпендикулярна плоскости 
Получаем, что прямая являющаяся прямой пересечения плоскостей и перпендикулярна плоскости и параллельна прямой В треугольнике  имеем

Рассмотрим квадрат (рис. 3). Пусть прямые и пересекаются в точке  Треугольники и подобны по двум углам. Получаем

Таким образом, прямая делит отрезок  в таком же отношении, что и плоскость значит, плоскость содержит точку
б) Из доказанного в пункте а следует, что искомое сечение - треугольник
В треугольнике имеем
 


В прямоугольном треугольнике имеем

Отрезок перпендикулярен плоскости а значит, и прямой  Следовательно, он является высотой треугольника Площадь треугольника равна

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б)

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)