Открытый банк заданий по ЕГЭ

Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Плоскость α проходит через вершины B₁ и D и пересекает рёбра AA₁ и CC₁ в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник MB₁KD – ромб. 
а) Докажите, что точка M – середина ребра AA₁. 
б) Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если площадь её основания ABCD равна 3, а площадь ромба MB₁KD равна 6.

Дан тетраэдр Точки лежат на ребрах и соответственно, так, что четырехугольник квадрат со стороной 2,
а)  Докажите, что
б)  Найдите расстояние от точки до плоскости если известно, что объем тетраэдра равен 25.

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 24, а боковое ребро равно 31. На рёбрах  и отмечены точки и соответственно, причём Плоскость  перпендикулярна плоскости и содержит точки и
а) Докажите, что плоскость содержит точку
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 12, а боковое ребро равно 19. На рёбрах  и отмечены точки и соответственно, причём Плоскость  перпендикулярна плоскости и содержит точки и
а) Докажите, что плоскость содержит точку
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 12, а боковое ребро равно 17. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём Плоскость  перпендикулярна плоскости и содержит точки и
а) Докажите, что плоскость содержит точку
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания  равна 15, а боковое ребро равно 23. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём Плоскость  перпендикулярна плоскости и содержит точки и
а) Докажите, что плоскость содержит точку
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью

Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине Ребро является высотой пирамиды. Точки и  лежат на рёбрах и соответственно так, что  Плоскость проходит через точки и перпендикулярно прямой и пересекает рёбра и в точках и соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите объём многогранника если объём пирамиды равен 64.

Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине Ребро является высотой пирамиды. Точки и  лежат на рёбрах и соответственно так, что  Плоскость проходит через точки и перпендикулярно прямой и пересекает рёбра и в точках и соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите объём многогранника если объём пирамиды равен 125.

Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине Ребро является высотой пирамиды. Точки и  лежат на рёбрах и соответственно так, что  Плоскость проходит через точки и перпендикулярно прямой и пересекает рёбра и в точках и соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите объём многогранника если объём пирамиды равен 216.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро SA равно 6. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём Плоскость содержит прямую и параллельна прямой
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой
б) Найдите угол между плоскостями и

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём Плоскость содержит прямую и параллельна прямой
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой
б) Найдите угол между плоскостями и

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10, а боковое ребро равно 6. На рёбрах  и отмечены точки и соответственно, причём Плоскость содержит прямую и параллельна прямой
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой
б) Найдите угол между плоскостями и

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём Плоскость содержит прямую и параллельна прямой
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой
б) Найдите угол между плоскостями и

В прямоугольном параллелепипеде  через середину диагонали  проведена плоскость перпендикулярно этой диагонали,
а) Докажите, что плоскость содержит точку
б) Найдите отношение, в котором плоскость делит ребро

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а
а) Докажите, что
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём Найдите площадь сечения MNB.

В основании прямой призмы  лежит равнобедренная трапеция  с основаниями  и Точка  делит ребро  в отношении  а точка — середина ребра 
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой
б) Найдите тангенс угла между плоскостью и плоскостью основания призмы, если

Дана четырехугольная пирамида  в основании которой лежит ромб со стороной 10. Известно, что  

а) Докажите, что ребро перпендикулярно плоскости основания пирамиды

б) Найдите расстояние между прямыми  и 

В треугольной пирамиде c основанием известно, что  Основанием высоты этой пирамиды является точка Прямые и перпендикулярны.
a) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды

На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём  Четырёхугольник KLMN — квадрат со стороной 2. 
а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны. 
б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.

В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник  На прямой отмечена точка так, что точка — середина отрезка  На прямой отмечена точка так, что — середина отрезка
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми и  если