Открытый банк заданий ЕГЭ

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|\sin^2 x + 2 \cos x + a| = \sin^2 x + \cos x - a
имеет на промежутке (\frac{\pi}{2}; \pi] единственный корень.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение
боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и
основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 5, AC = 8.

Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x^2 + 2x + 6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px – (0,5x^2 + 2x + 6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год p = 10, а далее каждый год возрастает на 1. За сколько лет окупится строительство?

Решите неравенство \log_5^2(x − 1) − \log_5^2(x − 5) \le 0.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость \alpha содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость \alpha делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью \alpha.

а) Решите уравнение \frac{\sin x}{\cos x + 1} = 1 − \cos x.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{5\pi}{2}; −\pi].

(1)Возвращаясь к своему детству, я вспоминаю маленькую, ныне уже не существующую библиотеку имени Достоевского, неподалёку от Чистых прудов. (2)Заведующая этой библиотекой, не имевшая учительского диплома, была истинным педагогом по душевной, нравственной своей сути. (3)Радистка, прошедшая войну, тяжело раненная под Кёнигсбергом, потерявшая в войну близких, знающая цену одиночеству людскому и горю, немногословная, угловатая... (4)В ней было живое любопытство к нам, нескладным подросткам послевоенного времени, «огольцам», топтавшимся по Чистым прудам, обменивавшим марки на трофейные немецкие ножички или пробки, роскошные альбомы с дрезденскими Венерами на зачитанный, без начала и конца драгоценный томик «Графа Монте-Кристо». (5)Дети дотелевизионной эпохи, мы были читателями книг. (6)В тёмных сыроватых закутках библиотек жили наши герои – наши знаменитые капитаны. (7)Часами простаивали мы у «Колизея», чтобы посмотреть замечательный боевик того времени – фильм «Два бойца». (8)А она скликала нас в библиотеку, мы сидели в тёмном зальчике, и к нам приходил неведомый нам ещё тогда, непрочитанный, но завораживающий необычными, как бы с трудом, из глубины добытыми словами Андрей Платонов. (9)Приходил и другой писатель, которого мы знали в основном как друга Аркадия Гайдара, – Константин Паустовский. (10)И слава его, и книги дошли до нас позже, а тогда мы читали, пожалуй, только маленькую повесть со странным названием «Кара-Бугаз». (11)О чём они говорили в те далёкие вечера, казавшиеся нам тогда обычными, само собой разумеющимися и видящиеся сегодня как сон, который ни вспомнить, ни забыть? (12)Что они рассказывали? (13)Чему учили? (14)А скорее всего, и не учили. (15)А просто говорили о самых обыкновенных случаях из самой обыкновенной жизни, о том, что, может, не всегда было так уж и интересно нам, так как ничего чрезвычайного и сверхъестественного в этих рассказах не было. (16)Никаких драк, приключений, выстрелов, погонь... (17)Простая жизнь, человеческие отношения, человеческие судьбы, но что-то западало навсегда, как зерно, брошенное в благодатную землю, и прорастало много позже, и обретало бескрайнюю, бесконечную уже теперь жизнь. (18)«Случайно на ноже карманном найти пылинку дальних стран», – глуховато читал Паустовский, и мир, ещё не оттаявший и полуразрушенный, просыпался в цветном тумане обещанием будущего. (19)Как важно, чтобы была на пути такая вот библиотека имени Достоевского или другое учреждение, где работают взрослые, которые постараются понять тебя и принять не только благополучного, успевающего, чистенького, но и блуждающего впотьмах, ищущего, туманно представляющего, что тебе в жизни надо. (20)Такие люди оставляют в формирующейся юношеской душе след навсегда.

Какие из перечисленных утверждений являются верными? Укажите номера ответов.
1) В предложении 3 содержатся элементы описания.
2) Предложение 5 указывает на следствие того, о чём говорится в предложении 4.
3) В предложениях 8, 9 содержится повествование.
4) Вопросы, сформулированные в предложениях 12 и 13, противопоставлены по содержанию.
5) В предложениях 19, 20 представлено рассуждение.

(1)В русском человеке нет европейской угловатости, непроницаемости, неподатливости. (2)Он со всеми уживается и во всё вживается. (3)Он сочувствует всему человеческому вне различия национальности, крови и почвы. (4)Он находит и немедленно допускает разумность в том, в чём хоть сколько-нибудь есть общечеловеческого интереса. (5)У него инстинкт общечеловечности. (6)Он угадывает общечеловеческую черту даже в самых резких исключительностях других народов. (7)Тотчас же соглашает, примиряет их в своей идее, находит им место в своём умозаключении и нередко открывает точку соединения и примирения в совершенно противоположных, сопернических идеях двух различных европейских наций, – в идеях, которые сами собою, у себя дома, ещё до сих пор, к несчастью, не находят способа примириться между собою, а может быть, и никогда не примирятся. (8)В то же самое время в русском человеке видна самая полная способность самой здравой над собой критики, самого трезвого на себя взгляда и отсутствие всякого самовозвышения, вредящего свободе действия. (9)Разумеется, мы говорим про русского человека вообще, собирательно, в смысле всей нации. (10)Даже физическими способностями русский не похож на европейцев. (11)Всякий русский может говорить на всех языках и изучить дух каждого чуждого языка до тонкости, как бы свой русский язык, – чего нет в европейских народах, в смысле всеобщей народной способности. (12)Неужели же это не указывает на что-нибудь? (13)Неужели это только одно случайное, бесцельное явление?(14)Неужели по таким явлениям нельзя осмыслить и хоть отчасти предугадать хоть что-нибудь в будущем развитии нашего народа, в его стремлениях и целях? (15)И вот эта-то нация, осиленная обстоятельствами, столько веков враждебно смотрела на Европу и упорно не хотела жить с нею и не предчувствовала своей будущности! (16)Пётр почувствовал в себе каким-то инстинктом новую силу и угадал потребность расширения взгляда и поля действия для всех русских, – потребность, скрытую в них бессознательно и бессознательно вырывавшуюся наружу. (17)Эта потребность была в их крови ещё со славянских времён. (18)Говорят, что Пётр хотел сделать из России только Голландию? (19)Не знаем; лицо Петра, несмотря на все исторические разъяснения и изыскания последнего времени, до сих пор ещё очень для нас загадочно. (20)Мы понимаем только одно: что нужно было быть слишком оригинальным, чтоб, будучи московским царём, вздумать не только полюбить Голландию, но даже поехать в неё. (21)Неужели ж один женевец Лефорт был и в самом деле всему причиною? (22)Во всяком случае, в лице Петра мы видим пример того, на что может решиться русский человек, когда он выживет себе полное убеждение и почувствует, что пора пришла, а в нём самом уже созрели и сказались новые силы.

Какие из перечисленных утверждений являются ошибочными? Укажите номера ответов.
1) В предложениях 1-5 представлено рассуждение с элементами описания.
2) Предложение 7 указывает на следствие того, о чём говорится в предложении 6.
3) В предложениях 15-17 представлено повествование.
4) В предложениях 18-20 представлено описание.
5) Предложение 19 содержит прямой аргументированный ответ на вопрос, сформулированный в предложении 18.

(1)Ничего необычного в том, что случилось со мной, нет. (2)Я был чемпионом и считался самым сильным человеком. (3)Мне сызмальства были по душе физические упражнения. (4)Меня увлекали борьба, метания и бег на лыжах. (5)В конце концов страсть к силе побудила к самостоятельным занятиям. (6)Я составил перечень упражнений и стал неуклонно следовать ему. (7)С 1946 по 1953 год я учился в Саратовском суворовском училище. (8)Времени для личной тренировки в распорядке дня не было. (9)Поэтому я вставал за полчаса до подъёма, лишая себя блаженного получаса юношеского сна. (10)Мне нравилось «строить» силу, нравилось быть сильным, и я мечтал о большой силе, но грубая сила, вульгарная, меня всегда отвращала. (11)Я испытывал к ней даже не неприязнь – ненависть! (12)Самостоятельные тренировки весьма повлияли на телосложение и здоровье. (13)Семнадцати лет я при росте 187 см весил за 90 кг – это был чистый мускульный вес – я выглядел даже худым. (14)После окончания Суворовского училища с серебряной медалью я получил счастливую возможность продолжать образование в Военно-воздушной инженерной академии имени Жуковского. (15)Уже со второго курса я имел сугубо целевые тренировки по тяжёлой атлетике, но они никогда не шли за счёт учебы. (16)После двух лет тренировок я неожиданно для себя вплотную придвинулся к норме мастера спорта. (17)То была эпоха могучего американского атлета Пола Эндерсона. (18)Я жадно впитывал крохи сведений о его тренировках из спортивных журналов. (19)Я старался разгадать природу этой поразительной силы. (20)Я не связывал её лишь с весом. (21)Должно было быть в тренировках Эндерсона и нечто своё, отличное от принятого, того, к чему мы привыкли. (22)После я понял: необходимы массированные тренировки с помощью небольшого числа главных вспомогательных упражнений, обеспечивающих основную силу, и ещё резкое увеличение весов главных вспомогательных упражнений с одновременным сокращением работы над техникой классических упражнений, которая тогда отнимала у нас неоправданно много времени. (23)Ошеломляющее впечатление произвели на советских любителей спорта выступления Эндерсона в Москве и Ленинграде 15 и 18 июня 1955 года. (24)Это были первые выступления американских спортсменов в Советском Союзе. (25)Лето 1955 года оказалось поворотным в моём отношении к тренировкам. (26)Я окончательно осознал, что авторитеты лишают нас воли – надо ломать тренировку, искать своё и ничего не бояться. (27)Тогда я впервые написал в своей тренировочной тетради: «Ничто не властно надо мной!» (28)Я смог проникнуть на тренировку наших спортсменов и американцев. (29)С восторгом узнал прославленных атлетов: в могучей статности неторопливый Яков Куценко; во всём подчёркнуто значительный и насмешливый длиннорукий Трофим Ломакин; косолапящий, словно стесняющийся своей силы Аркадий Воробьёв и литые из отжатых мускулов Рафаэль Чимишкин и Николай Удодов. (30)И тут же знаменитые американцы, короли журнальных обложек: Томми Коно, Стенли Станчик, Дэвид Шеппард, Чарльз Винчи и, конечно же, Пол Эндерсон. (31)Даже на тренировке этой горе мышц все аплодировали. (32)Признаюсь, воспоминание о виденном многие годы вдохновляло меня в трудные минуты моих тренировок. (33)Мне почудилось: боги силы сошли на землю. (34)И даже в мечтах я не посягал тогда на рекорды «человека-скалы», как в своих статьях звал Эндерсона Яков Куценко. (35)Но в мою тетрадь уже были вписаны слова «Ничто не властно надо мной!». (36)Прочь гипноз имён: всё это лишает нас силы! (37)В марте 1957 года вскоре после зимней сессии и каникул на четвёртом курсе академии я «достал» с необыкновенной лёгкостью всесоюзный рекорд в толчковом упражнении. (38)Через несколько недель последовали новые рекорды – в толчковом упражнении и рывке! (39)Это было настолько неожиданно и в то же время просто, что я на всех снимках тех дней улыбаюсь под штангой. (40)Какой рекорд? (41)Разве это рекорд? (42)Штанга ничего не весит... (43)Я оказался в тройке сильнейших атлетов страны (за Алексеем Медведевым и Евгением Новиковым). (44)А затем началось топтание на месте из-за травм, сомнений и диплома. (45)Сомнения пожаловали из-за робости перед новыми весами. (46)Я получил несколько травм. (47)Нужно было время для обживания в новых координатах. (48)В 1959 году я защитил на «отлично» диплом – 5 лет и 7 месяцев учения были позади. (49)И уже в апреле совершенно неожиданно для себя я «накрыл» самый грозный рекорд – мировой рекорд Эндерсона в толчковом упражнении! (50)Трудно даже приблизительно передать, что творилось тогда в окружном Доме офицеров Ленинградского военного округа. (51)Настоящее безумие! (52)Топот, рёв, крики, слёзы, объятия и в то же время порыв, сплачивающий всех в единое! (53)С этим рекордом ко мне пришёл неофициальный титул самого сильного человека планеты. (54)Во всяком случае, так именовали меня с того дня. (55)Впервые с далёких предреволюционных лет этот титул перекочевал в Россию.

Какие из перечисленных утверждений являются ошибочными? Укажите номера ответов.
1) В предложениях 10, 11 представлено повествование.
2) Предложения 20, 21 раскрывают, поясняют то, о чём говорится в предложении 19.
3) В предложении 29 содержатся элементы описания.
4) В предложении 36 указана причина того, о чём говорится в предложении 35.
5) В предложениях 50-52 представлено повествование.

— (1)Довольно! (2)И осветились вдруг весь этот громадный зал в два света, экзаменационные зелёные столы, чёрные доски. (3)И это он, Карташёв, стоял, и это ему говорил профессор, пробежав глазами исписанную доску: — Довольно! (4)Там, в открытых окнах, был май, лёгкий ветерок качал занавески, доносился аромат распускающихся деревьев, сверкало солнце, грохотали мостовые. (5)Карташёв кладёт в последний раз в жизни этот мел и повторяет мысленно «довольно», стараясь как можно сознательнее пережить это мгновение. (6)Итак, довольно, он инженер. (7)То, к чему четырнадцать лет стремился с многотысячным риском сорваться, достигнуто. (8)Каким недостижимым ещё вчера казалось это счастье, и отчего теперь, когда цель достигнута, безумная радость не охватывает его неудержимым порывом, отчего он чувствует только, что устал, что хочет спать и что то, к чему он стремился, теперь, когда это достигнуто, кажется ему таким ничтожным, нестόящим… (9)И потом, положив мел и отойдя в глубь залы, Карташёв продолжал ощущать всё ту же охватившую его пустоту, в которой как будто вдруг потерял себя. (10)Ему казалось, что нет больше ни его, ни всех этих людей, здесь стоявших, волновавшихся. (11)Что все они только тени, быстро-быстро проносящиеся в пространстве времени. (12)И что все эти радости, горе? (13)Что вечно среди этого изменяющегося, равнодушного, неудержимо несущегося вперёд? (14)Двадцать пять лет его жизни казались ему теперь только одним промчавшимся мгновеньем, в котором так ярко помнил он всё, всякую мелочь. (15)И в то же время так скучно, так ничтожно, так прозаично всё это. (16)И всё-таки хорош этот день, этот ясный радостный май, в открытых окнах эти ароматные вздохи ветерка, тянущего с собой привет полей, лесов. (17)Он поедет скоро туда, опять увидит свою Новороссию[1], её степи, неподвижные, безмолвные, с угрюмыми скирдами сена на горизонте, ясную тихую речку в камышах с далёкою далью сёл, церквей, белых хаток, высоких и стройных тополей. (18)И спит это всё там теперь в ярком сиянье весёлого дня, молодой весны, радостных надежд. (19)Правда, там нет лесов. (20)Здесь, под Петербургом, он только узнал эти леса, полянки среди них; здесь, под Петербургом, только узнал он и аромат этих распускающихся лесов, и мощное пробуждение их сразу от зимней спячки. (21)Осень – на юге; весна – на севере. (22)А эти ночи, светлые, белые, – дни во сне, молчаливые, ароматные. (23)Этот аромат распускающихся душистых тополей и сейчас несётся с островов. (24)Ах, эти острова, их сочная зелень, близость их друг к другу, голубые полосы окружающей их со всех сторон воды. (25)Карташёв вздохнул всей грудью. (26)Везде прекрасна природа. (27)Радость её – радость всех. (28)Вот и Карташёв радуется, что выдержал свой последний экзамен, что кончил курс, что инженер он теперь.

Какие из перечисленных утверждений являются верными? Укажите номера ответов.
1) В предложении 4 содержится описание.
2) В предложениях 6, 7 представлено рассуждение.
3) В предложении 9 представлено рассуждение.
4) В предложениях 14-16 представлено повествование.
5) В предложениях 22-24 представлено описание.