Открытый банк заданий ЕГЭ

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{2^x - a} + \frac{a - 1}{\sqrt{2^x - a}} = 1
имеет ровно два различных корня.

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.

а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны.
б) Найдите отношение ЕН к АС, если \angle ABC = 30^\circ.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн рублей.

Решите неравенство \frac{\log_5(25x)}{\log_5 x − 2} + \frac{\log_5 x − 2}{\log_5(25x)} \ge \frac{6-\log_5 x^4}{\log_5^2 x − 4}.

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA_1 и A_1C_1 соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB_1.

а) Решите уравнение x − 3\sqrt{x − 1} + 1 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\sqrt{3}; \sqrt{20}].

Целое число S является суммой не менее трёх последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.

а) Может ли S равняться 8?
б) Может ли S равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.

Найдите все значения параметра a, для каждого из которых имеет хотя бы один корень уравнение
\sin^{14} x + (a - 3 \sin x)^7 + \sin^2 x + a = 3 \sin x.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике АВС на продолжение
боковой стороны ВС опущена высота АН. Из точки Н на сторону АВ и
основание АС опущены перпендикуляры НК и НМ соответственно.

а) Докажите, что отрезки АМ и МК равны.
б) Найдите МК, если АВ = 5, АС = 8.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 30-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1503 тысячи рублей?