Старт
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3. Плоскость \alpha содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость \alpha параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями \alpha и SBC.
а) Решите уравнение 1 + \log_2(9x^2 + 5) = \log_{\sqrt{2}}\sqrt{8x^4 + 14}.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−1; \frac{8}{9}].
а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 123, 426, 786.
б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 123, 238, 435, 567, 791?
в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 40 включительно, вычёркивая из него цифры.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{x^4 + (a - 5)^4} = |x + a - 5| + |x - a + 5|
имеет единственое решение.
Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.
а) Докажите, что AN = CK.
б) Найдите KN, если \angle BAC = 35^\circ, \angle ACB = 65^\circ, а радиус окружности равен 12.
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей, где S — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год — долг (в тыс. рублей)
Июль 2016 — S
Июль 2017 — 0,7S
Июль 2018 — 0,4S
Июль 2019 — 0
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.
Решите неравенство 2\log_2(1 − 2x) − \log_2\left(\frac{1}{x} − 2\right) \le \log_2(4x^2 + 6x − 1).
На рёбрах DD_1 и BB_1 куба ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром 12 отмечены точки P и Q соответственно, причём DP = 10, а B_1Q = 4. Плоскость A_1PQ пересекает ребро CC_1 в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC_1.
б) Найдите расстояние от точки C_1 до плоскости A_1PQ.
а) Решите уравнение \left(\frac{1}{49}\right)^{\sin(x+\pi)} = 7^{2\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}−x\right)}.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3\pi; \frac{9\pi}{2}].
Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.
Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
