Старт
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120^\circ при вершине А проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона HF лежит на отрезке BC, а вершина E на отрезке AB.
а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.
Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.
Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Решите неравенство \log_{1-\frac{1}{(x−1)^2}}\left(\frac{x^2 + 5x + 8}{x^2 − 3x + 2}\right) \le 0.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 16, высота SH равна 10. Точка K — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет \frac{3}{4} площади треугольника SBC.
б) Найдите объём пирамиды KBCPQ.
а) Решите уравнение \frac{\sin x}{\cos x + 1} = 1 − \cos x.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{5\pi}{2}; −\pi].
В ящике лежит 95 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 73 грамма. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 115 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 10 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(4 \cos x - 3 - a) \cdot \cos x - 2,5 \cos 2x + 1,5 = 0
имеет хотя бы один корень.
В треугольнике ABC угол ABC равен 60^\circ. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
a) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin \angle BMC, если известно, что отрезок BM в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
31 декабря 2016 года Василий взял в банке 5 460 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Василий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Василий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
Решите неравенство \frac{2 \cdot 8^{x−1}}{2 \cdot 8^{x−1} − 1} \ge \frac{3}{8^x − 1} + \frac{8}{64^x − 5 \cdot 8^x + 4}.
