Старт
Основанием прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней AA_1B_1B и BB_1C_1C равны 15 и 9 соответственно, AB = 13.
а) Докажите, что треугольник BA_1C_1 прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды AA_1C_1B.
а) Решите уравнение \tg^2 x + 5\tg x + 6 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2\pi; −\frac{\pi}{2}].
На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases}
x^4 - y^4 = 12a - 28,\\
x^2 + y^2 = a
\end{cases}
имеет ровно четыре различных решения.
В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что AM:MB = CN:NB = 2:3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке L.
а) Докажите, что AB + BC = 4AC.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если ML = \frac{9}{5}, LN = 3.
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решите неравенство \frac{1}{3^x + 21} + \frac{1}{3^x − 27} \ge 0.
В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: SA = SB = 7, SC = 5. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 4.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
а) Решите уравнение \sin 2x = \sin x − 2\cos x + 1.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{3\pi}{2}; 3\pi].
В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Пусть есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?
