Открытый банк заданий ЕГЭ

Решите неравенство \frac{\log_3(9x) \cdot \log_4(64x)}{5x^2 − |x|} \le 0.

Дана треугольная пирамида SABC. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка CH — высоты треугольника ABC.

а) Докажите, что AC^2 − BC^2 = AS^2 − BS^2.
б) Найдите объём пирамиды SABC, если AB = 25, AC = 10, BC = 5\sqrt{13}, SC = 3\sqrt{10}.

а) Решите уравнение 2\sin^2 x − \cos(−x) − 1 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\pi; \frac{\pi}{2}].

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, среднее арифметическое во второй группе равно B. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше \frac{A + B}{2}.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно \frac{A + B}{2}.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения \frac{A + B}{2}.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
3 \sin x + \cos x = a
имеет единственное решение на отрезке \left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right].

В треугольнике ABC угол ABC тупой, H – точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60^\circ.

а) Докажите, что угол ABC равен 120^\circ.
б) Найдите BH, если AB = 7, BC = 8.

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на 10 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором банк через четыре года начислит на вклад меньше 15 млн рублей.

Решите неравенство \frac{4^x − 2^{x+3} + 7}{4^x − 5 \cdot 2^x + 4} \le \frac{2^x − 9}{2^x − 4} + \frac{1}{2^x − 6}.

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 5 и диагональю BD = 9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 4.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

а) Решите уравнение \cos^2(\pi − x) − \sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].