Открытый банк заданий ЕГЭ

Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.

а) Может ли выполняться равенство A⋅S = 1105?
б) Может ли выполняться равенство A⋅S = 1106?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение, если оно больше 1503?

При каких значениях параметра a уравнение
\frac{|4x| - x - 3 - a}{x^2 - x - a} = 0
имеет ровно 2 различных решения.

Около треугольника ABC описана окружность. Прямая BO, где O – центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.

а) Докажите, что OP = AP.
б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если \angle ABC = 120^\circ, а радиус описанной окружности равен 18.

Зависимость количества Q (в шт., 0 \leq Q \leq 20000) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - Р. Затраты на производство Q единиц товара составляют 6000Q + 4 000 000 рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей (0 < t < 10000) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет PQ - 6000Q - 4 000 000 - tQ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Решите неравенство \log_{\frac{1}{3}}(18 − 9x) < \log_{\frac{1}{3}}(x^2 − 6x + 5) + \log_{\frac{1}{3}}(x + 2).

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 все рёбра равны 6.

а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC_1 равен 60^\circ.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BC_1.

а) Решите уравнение 9^{x+1} − 2 \cdot 3^{x+2} + 5 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (\log_3 \frac{3}{2}; \sqrt{5}).

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли n быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases}
(x + ay - 5)(x + ay - 5a) = 0,\\
x^2 + y^2 = 16
\end{cases}
имеет ровно четыре различных решения.

В треугольнике ABC провели высоту CC_1 и медиану AA_1. Оказалось, что точки A, A_1, C, C_1 лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA_1 : CC_1 = 3 : 2 и A_1C_1 = 2.