Старт
На доске написано число 2045 и ещё несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\left(x + \frac{1}{x-a}\right)^2 - (a + 9)\left(x + \frac{1}{x-a}\right) + 2a(9-a) = 0
имеет ровно 4 решения.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Решите неравенство \frac{1}{\log_3 x + 4} + \frac{2}{\log_3(3x)} \cdot \left(\frac{2}{\log_3 x + 4} − 1\right) \le 0.
Ребро куба ABCDA_1B_1C_1D_1 равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA_1D_1D и CC_1D_1D соответственно.
а) Докажите, что B_1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B_1KLM.
а) Решите уравнение (49^{\cos x})^{\sin x} = 7^{\sqrt{2}\cos x}.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].
Максим должен был умножить двузначное число на трёхзначное число (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трёхзначное число справа к двузначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз (N — натуральное число) больше правильного результата.
а) Могло ли N равняться 2?
б) Могло ли N равняться 10?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = 4x^2 - 4ax + a^2 + 2a + 2
на множестве |x| \ge 1 не меньше 6.
15-го марта планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тысячи рублей?
Решите неравенство \frac{\log_2(2x^2 − 17x + 35) − 1}{\log_7(x + 6)} \le 0.
