Открытый банк заданий ЕГЭ

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причёмB и C – вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.

a) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.
б) Пусть N – точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь
четырёхугольника ABCD, если известно, что BM : MC = 3 : 4, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 24.

15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:

– 1-го числа k -го месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число k -го месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа k -го месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит?

Решите неравенство \log_2((x − 1)(x^2 + 2)) \le 1 + \log_2(x^2 + 3x − 4) − \log_2 x.

а) Решите уравнение 2x\cos x − 8\cos x + x − 4 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{\pi}{2}; \pi].

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
2^x - a = \sqrt{4^x - a}
имеет единственный корень.

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что \frac{AP}{PD} = \sin D.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны \frac{4}{3} и \frac{1}{3}.

Решите неравенство (\log_2^2 x − 2\log_2 x)^2 < 11\log_2^2 x − 22\log_2 x − 24.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона основания AB = 6, а боковое ребро AA_1 = 4\sqrt{3}. На рёбрах AB, A_1D_1 и C_1D_1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A_1N = C_1K = 1.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

а) Решите уравнение 8^x − 9 · 2^{x+1} + 2^{5−x} = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\log_5 2; \log_5 20].