Открытый банк заданий ЕГЭ

а) Решите уравнение \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = \cos x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].

Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма этих чисел быть равной 39?
б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34?
в) Какова их минимальная сумма?

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases}
ax^2 + ay^2 + 2ax + (a + 2)y + 1 = 0,\\
xy + 1 = x + y
\end{cases}
имеет ровно четыре различных решения.

Дана равнобедренная трапеция ABCD. На боковой стороне AB и большем основании AD взяты соответственно точки F и E так, что FE параллельно CD, а FC = ED.

а) Докажите, что \angle BCF = \angle AFE.
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если ED = 5BF, FE = 8 и площадь трапеции FCDE равна 27\sqrt{11}.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.

Решите неравенство 2^{x+1} + 0,5^{x−3} \ge 17.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C_1, причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что \angle ACB = 30^\circ, AB = 1, CC_1 = 2\sqrt{2}.

а) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 60^\circ.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

а) Решите уравнение 4 \cdot 16^{\cos x} − 9 \cdot 4^{\cos x} + 2 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2\pi; −\frac{\pi}{2}].

В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. При этом первый ученик даёт порции по 100 г, второй – по 200 г, третий – по 300 г, четвёртый – по 400 г, а какие-то кролики могут остаться без корма.

а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все кролики получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно четырём кроликам и все кролики получили разное количество корма?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{5 - 7x} \cdot \ln(9x^2 - a^2) = \sqrt{5 - 7x} \cdot \ln(3x + a)
имеет ровно один корень.