Открытый банк заданий ЕГЭ

Строительство нового завода стоит 115 млн рублей. Затраты на производство х тыс. единиц продукции на таком заводе равны 0,5x^2 + x + 9 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px – (0,5x^2 + x + 9). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более чем за 5 лет?

Решите неравенство \lg^4 x − 4\lg^3 x + 5\lg^2 x − 2\lg x \ge 0.

Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 является квадрат ABCD со стороной 5\sqrt{2}, высота призмы равна 2\sqrt{14}. Точка K — середина ребра BB_1. Через точки K и C_1 проведена плоскость \alpha параллельная прямой BD_1.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью \alpha является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью \alpha.

а) Решите уравнение 2\cos^2 x − 3\sin(−x) − 3 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трёхзначного числа?

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4 + 2ax - a^2,\\
x^2 = y^2
\end{cases}
имеет ровно 4 решения.

В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Докажите, что BM = CM.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен 64^\circ, а расстояние от точки M до прямой BC равно стороне AD.

В июле планируется взять кредит на сумму 1 342 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

Решите неравенство (5x − 13) \cdot \log_{2x−5}(x^2 − 6x + 10) \ge 0.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона AB основания равна 12, а высота пирамиды равна 1. На рёбрах AB, AC и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = AN = 3 и AK = \frac{7}{4}.

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.