Задания ЕГЭ | Математика (профильная)

Решение:

а) 

Вынесем за скобки общий множитель 

Если произведение равно 0, то как минимум один из множителей равен 0.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  с помощью двойного неравенства:

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах - 2 балла

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) - 1 балл

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а)  б) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
 

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку 

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах - 2 балла

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) - 1 балл

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а)  б) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах - 2 балла

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) - 1 балл

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах - 2 балла

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) - 1 балл

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
а)

Пусть


- не удовлетворяет ограничению; 

Обратная замена: 

б) Отберём корни с помощью единичной окружности:

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах - 2 балла

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) - 1 балл

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а)  б) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах - 2 балла

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) - 1 балл

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах - 2 балла

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) - 1 балл

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах - 2 балла

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) - 1 балл

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах - 2 балла

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) - 1 балл

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах - 2 балла

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) - 1 балл

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах - 2 балла

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) - 1 балл

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах - 2 балла

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) - 1 балл

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах - 2 балла

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) - 1 балл

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

а) По формуле 

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  с помощью двойного неравенства:

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах - 2 балла

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) - 1 балл

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а)  б) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
a) Рассмотрим треугольники ADM и MA₁B₁. Так как в сечении ромб, В₁M = MD. Так как призма правильная, в основании лежит квадрат, AD = A₁B_1. Так как призма правильная, она является прямой (углы между основаниями и боковыми гранями прямые).
Таким образом, имеем прямоугольные треугольники с равными катетами и гипотенузой. Треугольники равны, значит, AM = A₁M, следовательно M – середина АА₁, что и требовалось доказать.

б) Площадь проекции на плоскость равна площади многоугольника, умноженной на косинус угла между ними. Собственно, начальный многоугольник – ромб, а его проекция – квадрат в основании. Выразим косинус угла между ними:

Рассмотрим треугольник B₁BD. BD – диагональ квадрата в основании.

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

а) Четырехугольник   - квадрат, поэтому прямые и параллельны. Следовательно, прямая параллельна плоскости Значит, прямые и лежащие в плоскости не имеют общих точек. Следовательно, они параллельны. Таким образом, все три прямые и параллельны. Аналогично, прямые и параллельны. По теореме Фалеса для треугольников и имеем:

б)  Расстояние от точки до плоскости равно высоте тетраэдра проведенной из точки Основанием этого тетраэдра является прямоугольный треугольник площадь которого равна:

Следовательно,

Пусть отрезок   - высота тетраэдра отрезок   - высота тетраэдра Выразим объём тетраэдра через объём тетраэдра

Подставим найденные значения:

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

а) Пусть прямая пересекает плоскость  в точке (рис. 1), а - высота пирамиды Поскольку пирамида правильная, центр квадрата совпадает с точкой Значит, прямая лежит в плоскости (рис. 2). Следовательно, плоскость перпендикулярна плоскости 
Получаем, что прямая являющаяся прямой пересечения плоскостей и перпендикулярна плоскости и параллельна прямой В треугольнике  имеем

Рассмотрим квадрат (рис. 3). Пусть прямые и пересекаются в точке  Треугольники и подобны по двум углам. Получаем

Таким образом, прямая делит отрезок  в таком же отношении, что и плоскость значит, плоскость содержит точку
б) Из доказанного в пункте а следует, что искомое сечение - треугольник
В треугольнике имеем
 


В прямоугольном треугольнике имеем

Отрезок перпендикулярен плоскости а значит, и прямой  Следовательно, он является высотой треугольника Площадь треугольника равна

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б)

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

а) Пусть прямая пересекает плоскость  в точке (рис. 1), а - высота пирамиды Поскольку пирамида правильная, центр квадрата совпадает с точкой Значит, прямая лежит в плоскости (рис. 2). Следовательно, плоскость перпендикулярна плоскости 
Получаем, что прямая являющаяся прямой пересечения плоскостей и перпендикулярна плоскости и параллельна прямой В треугольнике  имеем

Рассмотрим квадрат (рис. 3). Пусть прямые и пересекаются в точке  Треугольники и подобны по двум углам. Получаем

Таким образом, прямая делит отрезок  в таком же отношении, что и плоскость значит, плоскость содержит точку
б) Из доказанного в пункте а следует, что искомое сечение - треугольник
В треугольнике имеем
 


В прямоугольном треугольнике имеем

Отрезок перпендикулярен плоскости а значит, и прямой  Следовательно, он является высотой треугольника Площадь треугольника равна

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б)

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

а) Пусть прямая пересекает плоскость  в точке (рис. 1), а - высота пирамиды Поскольку пирамида правильная, центр квадрата совпадает с точкой Значит, прямая лежит в плоскости (рис. 2). Следовательно, плоскость перпендикулярна плоскости 
Получаем, что прямая являющаяся прямой пересечения плоскостей и перпендикулярна плоскости и параллельна прямой В треугольнике  имеем

Рассмотрим квадрат (рис. 3). Пусть прямые и пересекаются в точке  Треугольники и подобны по двум углам. Получаем

Таким образом, прямая делит отрезок  в таком же отношении, что и плоскость значит, плоскость содержит точку
б) Из доказанного в пункте а следует, что искомое сечение - треугольник
В треугольнике имеем
 


В прямоугольном треугольнике имеем

Отрезок перпендикулярен плоскости а значит, и прямой  Следовательно, он является высотой треугольника Площадь треугольника равна

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б)

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

а) Пусть прямая пересекает плоскость  в точке (рис. 1), а - высота пирамиды Поскольку пирамида правильная, центр квадрата совпадает с точкой Значит, прямая лежит в плоскости (рис. 2). Следовательно, плоскость перпендикулярна плоскости 
Получаем, что прямая являющаяся прямой пересечения плоскостей и перпендикулярна плоскости и параллельна прямой В треугольнике  имеем

Рассмотрим квадрат (рис. 3). Пусть прямые и пересекаются в точке  Треугольники и подобны по двум углам. Получаем

Таким образом, прямая делит отрезок  в таком же отношении, что и плоскость значит, плоскость содержит точку
б) Из доказанного в пункте а следует, что искомое сечение - треугольник
В треугольнике имеем
 


В прямоугольном треугольнике имеем

Отрезок перпендикулярен плоскости а значит, и прямой  Следовательно, он является высотой треугольника Площадь треугольника равна

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б)

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)