Задания ЕГЭ | Математика (профильная)
Тема: Объемы
Основание пирамиды 
- прямоугольный треугольник 
с прямым углом при вершине 
Ребро 
является высотой пирамиды. Точки 
и 
лежат на рёбрах 
и 
соответственно так, что 
Плоскость 
проходит через точки 
и перпендикулярно прямой и пересекает рёбра 
и 
в точках 
и 
соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите объём многогранника 
если объём пирамиды равен 64.
и 
параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой 
Поэтому треугольники 
и 
подобны по двум углам, 
проходит через прямую 
параллельную прямой 
Поэтому линия пересечения плоскостей 
параллельна прямой 
подобны по двум углам, 
и 
- параллелограмм. Прямая 
перпендикулярна прямой 
и лежит в плоскости 
перпендикулярной плоскости 
поэтому прямая 
перпендикулярна плоскости 
перпендикулярен отрезку 
Таким образом, в параллелограмме 
угол 
прямой, поэтому параллелограм является прямоугольником.
и 
Пятигранник 
и призму 
где 
- точка пересечения плоскости 
параллельной плоскости 
Обозначим 
Тогда:
равен разности объёмов пирамиды 
и пятигранника 
Тема: Объемы
Основание пирамиды 
- прямоугольный треугольник 
с прямым углом при вершине 
Ребро 
является высотой пирамиды. Точки 
и 
лежат на рёбрах 
и 
соответственно так, что 
Плоскость 
проходит через точки 
и перпендикулярно прямой и пересекает рёбра 
и 
в точках 
и 
соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите объём многогранника 
если объём пирамиды равен 125.
и 
параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой 
Поэтому треугольники 
и 
подобны по двум углам, 
проходит через прямую 
параллельную прямой 
Поэтому линия пересечения плоскостей 
параллельна прямой 
подобны по двум углам, 
и 
- параллелограмм. Прямая 
перпендикулярна прямой 
и лежит в плоскости 
перпендикулярной плоскости 
поэтому прямая 
перпендикулярна плоскости 
перпендикулярен отрезку 
Таким образом, в параллелограмме 
угол 
прямой, поэтому параллелограм является прямоугольником.
и 
Пятигранник 
и призму 
где 
- точка пересечения плоскости 
параллельной плоскости 
Обозначим 
Тогда:
равен разности объёмов пирамиды 
и пятигранника 
Тема: Объемы
Основание пирамиды 
- прямоугольный треугольник 
с прямым углом при вершине 
Ребро 
является высотой пирамиды. Точки 
и 
лежат на рёбрах 
и 
соответственно так, что 
Плоскость 
проходит через точки 
и 
перпендикулярно прямой 
и пересекает рёбра 
и 
в точках 
и 
соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью 
является прямоугольником.
б) Найдите объём многогранника 
если объём пирамиды 
равен 216.
и 
параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой 
Поэтому треугольники 
и 
подобны по двум углам, 
проходит через прямую 
параллельную прямой 
Поэтому линия пересечения плоскостей 
параллельна прямой 
подобны по двум углам, 
и 
равны и лежат на параллельных прямых. Следовательно, 
- параллелограмм. Прямая 
перпендикулярна прямой 
и лежит в плоскости 
перпендикулярной плоскости 
поэтому прямая 
перпендикулярна плоскости 
перпендикулярен отрезку 
Таким образом, в параллелограмме 
угол 
прямой, поэтому параллелограм является прямоугольником.
делит пирамиду на два пятигранника 
и 
Пятигранник 
и призму 
где 
- точка пересечения плоскости 
параллельной плоскости 
с ребром 
Обозначим 
Тогда:
равен разности объёмов пирамиды 
и пятигранника 
Тема: Расстояние между прямыми и плоскостями
В правильной треугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 8, а боковое ребро SA равно 6. На рёбрах и 
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
Плоскость 
содержит прямую 
и параллельна прямой 
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой 
б) Найдите угол между плоскостями и 
пересекает ребро 
в точке 
Поскольку прямая 
параллельна плоскости 
прямые 
и 
и 
параллельны. Таким образом, плоскость 
параллельна прямой 
- середина ребра 
Тогда медианы 
и 
треугольников 
и 
соответственно являются их высотами, а значит, плоскость 
перпендикулярна прямой 
и плоскости 
содержащей прямую 
по которой пересекаются плоскости 
и прямой 
Так как прямая 
параллельна прямой 
этот угол равен углу 
Тема: Расстояние между прямыми и плоскостями
В правильной треугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 10, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах и 
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
Плоскость 
содержит прямую 
и параллельна прямой 
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой 
б) Найдите угол между плоскостями и 
пересекает ребро 
в точке 
Поскольку прямая 
параллельна плоскости 
прямые 
и 
и 
параллельны. Таким образом, плоскость 
параллельна прямой 
- середина ребра 
Тогда медианы 
и 
треугольников 
и 
соответственно являются их высотами, а значит, плоскость 
перпендикулярна прямой 
и плоскости 
содержащей прямую 
по которой пересекаются плоскости 
и прямой 
Так как прямая 
параллельна прямой 
этот угол равен углу 
Тема: Расстояние между прямыми и плоскостями
В правильной треугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 10, а боковое ребро 
равно 6. На рёбрах и 
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
Плоскость 
содержит прямую 
и параллельна прямой 
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой 
б) Найдите угол между плоскостями и 
пересекает ребро 
в точке 
Поскольку прямая 
параллельна плоскости 
прямые 
и 
и 
параллельны. Таким образом, плоскость 
параллельна прямой 
- середина ребра 
Тогда медианы 
и 
треугольников 
и 
соответственно являются их высотами, а значит, плоскость 
перпендикулярна прямой 
и плоскости 
содержащей прямую 
по которой пересекаются плоскости 
и прямой 
Так как прямая 
параллельна прямой 
этот угол равен углу 
Тема: Расстояние между прямыми и плоскостями
В правильной треугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 10, а боковое ребро 
равно 7. На рёбрах и 
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
Плоскость 
содержит прямую 
и параллельна прямой 
а) Докажите, что плоскость 
параллельна прямой 
б) Найдите угол между плоскостями 
и 
пересекает ребро 
в точке 
Поскольку прямая 
параллельна плоскости 
прямые 
и 
и 
параллельны. Таким образом, плоскость 
содержащая прямую 
параллельна прямой 
- середина ребра 
Тогда медианы 
и 
треугольников 
и 
соответственно являются их высотами, а значит, плоскость 
перпендикулярна прямой 
параллельной прямой 
и плоскости 
содержащей прямую 
по которой пересекаются плоскости 
и 
и прямой 
Так как прямая 
параллельна прямой 
этот угол равен углу 
Тема: Расстояние от точки до прямой и до плоскости
В прямоугольном параллелепипеде 
через середину 
диагонали 
проведена плоскость 
перпендикулярно этой диагонали, 
а) Докажите, что плоскость содержит точку 
б) Найдите отношение, в котором плоскость делит ребро 
имеем
стороны 
и 
равны. Значит, этот треугольник равнобедренный, а его медиана 
является его высотой. Следовательно, точка 
лежит в плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно прямой 
а такая плоскость единственная, и это плоскость 
и прямой 
через 
Поскольку плоскость 
в треугольнике 
медиана 
является высотой. Следовательно, 
тогда 
В прямоугольных треугольниках 
и 
имеем:
Таким образом, 
Тема: Сечения
В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а 
а) Докажите, что 
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём 
Найдите площадь сечения MNB.
Значит, 
Аналогично, 
Найдём стороны треугольника MNB:
Тема: Сечения
В основании прямой призмы 
лежит равнобедренная трапеция 
с основаниями 
и 
Точка 
делит ребро 
в отношении 
а точка 
— середина ребра 
а) Докажите, что плоскость 
параллельна прямой 
б) Найдите тангенс угла между плоскостью 
и плоскостью основания призмы, если 
и 
то 
по прямой CL и 
получается точка О.
в точке N.
(углы между попарно параллельными прямыми).
(KD - ребро прямой призмы).
BD параллельна плоскости MKC.
- параллелограмм 
то угол между (MKC) и (ABC) будет равен углу между (MKC) и (A1B1C1).
где 
- угол между (MKC) и (MD1C1), а следовательно это искомый угол.
- прямоугольный.
тогда 
- прямоугольный.
тогда 
равносторонний
- прямоугольный 
Тема: Углы между скрещивающимися прямыми
Дана четырехугольная пирамида 
в основании которой лежит ромб 
со стороной 10. Известно, что 
а) Докажите, что ребро 
перпендикулярно плоскости основания пирамиды 
б) Найдите расстояние между прямыми 
и 
(т. к. 
- ромб)
- прямоугольный, т. к. 
по т. Пифагора: 
тогда 
- равнобедренный (
), тогда 
- медиана, биссектриса и высота, по т. Пифагора 
по т. косинусов:
=
(
- смежные).
тогда 
по обратной т. Пифагора.
: 
тогда 
по обратной т. Пифагора.
по признаку перпендикулярности прямой к плоскости.
по признаку перпендикулярности прямой к плоскости.
и 
на плоскость 
. 
тогда 
по 2 углам (
- общий, 
), тогда 
отсюда 
Тема: Объемы
В треугольной пирамиде 
c основанием 
известно, что 
Основанием высоты этой пирамиды является точка 
Прямые 
и 
перпендикулярны.
a) Докажите, что треугольник 
прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды 
перпендикулярна 
(по условию)
т.к. 
- высота 
а следовательно 
- прямоугольный.
- прямоугольный: 
- прямоугольный: 
- прямоугольный:
Тема: Расстояние от точки до прямой и до плоскости
На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём 
Четырёхугольник KLMN — квадрат со стороной 2.
а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.
Следовательно, 
то 
Следовательно, 
— высота тетраэдра KBNM. Выразим объём тетраэдра KBNM через объём тетраэдра ABCD: 
Тема: Расстояние между прямыми и плоскостями
В основании правильной треугольной призмы 
лежит треугольник 
На прямой 
отмечена точка 
так, что точка 
— середина отрезка 
На прямой 
отмечена точка 
так, что 
— середина отрезка 
а) Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми и 
если 
отрезок 
— медиана, при этом 
значит, треугольник 
Прямая 
лежит в плоскости верхнего основания правильной призмы, следовательно, 
на плоскость 
тогда по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, 
значит, 
перпендикулярна плоскости 
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости: 
Значит, высота 
треугольника 
по теореме Пифагора 
по теореме Пифагора 
откуда 
Тема: Расстояние от точки до прямой и до плоскости
Ребро куба 
равно 30. На ребре 
отмечена точка 
так, что 
а на ребре 
отмечена точка 
- середина 
причём плоскость 
пересекает ребро 
в точке 
.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
- искомое сечение.
тогда 
(по двум углам):
и 
( по двум углам):
ч.т.д.
и составим уравнение плоскости 
- уравнение плоскости. Подставим координаты точек 
и получим:
Пусть 
тогда 
и уравнение плоскости примет вид:
Тема: Объемы
Точка F — середина бокового ребра SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, точка M лежит на стороне основания AB. Плоскость 
проходит через точки F и M параллельно боковому ребру SC.
а) Плоскость 
пересекает ребро SD в точке K. Докажите, что BM : MA = DK : KS.
б) Пусть BM : MA = 3 : 1. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость 
разбивает пирамиду.
Тема: Расстояние между прямыми и плоскостями
Дана пирамида SABC, в которой 
а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.
б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.
Тогда 
Тема: Углы между плоскостями
Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
(ABC - правильный треугольник)
- прямоугольный (выполняется теорема Пифагора)
- прямоугольный
NH перпендикулярен плоскости AA1B1.
(по теореме о трёх перпендикулярах).
- искомый.
- прямоугольный.
где h - высота 
не определено при 
равно нулю при 
и при 
и положительно при других значениях 
неравенство принимает вид:
Учитывая условия 
и 
получаем:
