Задание 5174
Вопрос
В правильной треугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 10, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах и 
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
Плоскость 
содержит прямую 
и параллельна прямой 
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой 
б) Найдите угол между плоскостями и 
Решение:
а) Пусть плоскость 
пересекает ребро 
в точке 
Поскольку прямая 
параллельна плоскости 
прямые 
и параллельны, а значит,
Следовательно, прямые 
и 
параллельны. Таким образом, плоскость содержащая прямую 
параллельна прямой 
б) Пусть точка 
- середина ребра 
Тогда медианы 
и 
треугольников 
и 
соответственно являются их высотами, а значит, плоскость 
перпендикулярна прямой Следовательно, плоскость перпендикулярна плоскости параллельной прямой 
и плоскости 
содержащей прямую Значит, искомый угол равен углу между прямой 
по которой пересекаются плоскости и 
и прямой 
Так как прямая 
параллельна прямой 
этот угол равен углу или смежному с ним. В треугольнике имеем:
По теореме косинусов
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
Темы: Расстояние между прямыми и плоскостями
Разделы: Стереометрия второй части