Задание 5181

Решение:

а) Пусть плоскость пересекает ребро  в точке Поскольку прямая параллельна плоскости прямые и параллельны, а значит,

Следовательно, прямые и параллельны. Таким образом, плоскость содержащая прямую параллельна прямой
б) Пусть точка - середина ребра Тогда медианы и треугольников и  соответственно являются их высотами, а значит, плоскость перпендикулярна прямой  Следовательно, плоскость перпендикулярна плоскости параллельной прямой и плоскости содержащей прямую  Значит, искомый угол равен углу между прямой по которой пересекаются плоскости и и прямой Так как прямая параллельна прямой этот угол равен углу или смежному с ним. В треугольнике имеем:

По теореме косинусов

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б)

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)