Задание 5311

Решение:

а) Четырехугольник   - квадрат, поэтому прямые и параллельны. Следовательно, прямая параллельна плоскости Значит, прямые и лежащие в плоскости не имеют общих точек. Следовательно, они параллельны. Таким образом, все три прямые и параллельны. Аналогично, прямые и параллельны. По теореме Фалеса для треугольников и имеем:

б)  Расстояние от точки до плоскости равно высоте тетраэдра проведенной из точки Основанием этого тетраэдра является прямоугольный треугольник площадь которого равна:

Следовательно,

Пусть отрезок   - высота тетраэдра отрезок   - высота тетраэдра Выразим объём тетраэдра через объём тетраэдра

Подставим найденные значения:

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)