Задание 4949

Решение:

а) Так как и  то 
Из этого следует, что плоскость MKC пересечёт  по прямой CL и 

Продлим MK до пересечения с  получается точка О.
Тогда можем соединить точки L и О и получим LO.
LO пересекает  в точке N.
Соединим M и N между собой. Получаем итоговое сечение призмы MNLCK.
LK принадлежит данному сечению.
LK и BD принадлежат плоскости 
Докажем, что 
 (углы между попарно параллельными прямыми).

Рассмотрим BDKL - прямоугольник, так как  (KD - ребро прямой призмы).
Тогда получаем, что  BD параллельна плоскости MKC.
б) Рассмотрим KCLM:

Спроецируем MKCL на плоскость 
Получаем фигуру  - параллелограмм 
Так как  то угол между (MKC) и (ABC) будет равен углу между (MKC) и (A₁B₁C₁).
Тогда воспользуемся формулой площади проекции:
где  - угол между (MKC) и (MD₁C₁), а следовательно это искомый угол.

Рассмотрим  - прямоугольный.
По теореме Пифагора 
Пусть  тогда 

Рассмотрим  - прямоугольный.
По теореме Пифагора 
тогда 

Рассмотрим 
равносторонний

Рассмотрим 

По теореме косинусов: 

Рассмотрим  - прямоугольный 

По теореме Пифагора 
MKCL - прямоугольник
Получаем, 

Получаем, 

Получается  

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)