Задание 5196
Вопрос
Основание пирамиды 
- прямоугольный треугольник 
с прямым углом при вершине 
Ребро 
является высотой пирамиды. Точки 
и 
лежат на рёбрах 
и 
соответственно так, что 
Плоскость 
проходит через точки 
и перпендикулярно прямой и пересекает рёбра 
и 
в точках 
и 
соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите объём многогранника 
если объём пирамиды равен 125.
Решение:
а) Прямые 
и 
параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой 
Поэтому треугольники 
и 
подобны по двум углам, 
Плоскость 
проходит через прямую 
параллельную прямой 
Поэтому линия пересечения плоскостей и 
параллельна прямой Следовательно, треугольники и 
подобны по двум углам, 
Таким образом, отрезки 
и равны и лежат на параллельных прямых. Следовательно, 
- параллелограмм. Прямая 
перпендикулярна прямой 
и лежит в плоскости 
перпендикулярной плоскости 
поэтому прямая 
перпендикулярна плоскости значит, отрезок 
перпендикулярен отрезку 
Таким образом, в параллелограмме 
угол 
прямой, поэтому параллелограм является прямоугольником.
б) Плоскость делит пирамиду на два пятигранника 
и 
Пятигранник можно разбить на пирамиду 
и призму 
где 
- точка пересечения плоскости 
параллельной плоскости с ребром 
Обозначим 
Тогда:
Следовательно, объём пятигранника 
Oбъём пятигранника 
равен разности объёмов пирамиды 
и пятигранника 
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 2112
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
Темы: Объемы
Разделы: Стереометрия второй части