Задание 5322
Вопрос
Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA1B1C1D1. Плоскость α проходит через вершины B1 и D и пересекает рёбра AA1 и CC1 в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник MB1KD – ромб.
а) Докажите, что точка M – середина ребра AA1.
б) Найдите высоту призмы ABCDA1B1C1D1, если площадь её основания ABCD равна 3, а площадь ромба MB1KD равна 6.
Решение:
a) Рассмотрим треугольники ADM и MA1B1. Так как в сечении ромб, В1M = MD. Так как призма правильная, в основании лежит квадрат, AD = A1B1. Так как призма правильная, она является прямой (углы между основаниями и боковыми гранями прямые).
Таким образом, имеем прямоугольные треугольники с равными катетами и гипотенузой. Треугольники равны, значит, AM = A1M, следовательно M – середина АА1, что и требовалось доказать.
б) Площадь проекции на плоскость равна площади многоугольника, умноженной на косинус угла между ними. Собственно, начальный многоугольник – ромб, а его проекция – квадрат в основании. Выразим косинус угла между ними:
Рассмотрим треугольник B1BD. BD – диагональ квадрата в основании.
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
Темы: Расстояние между прямыми и плоскостями
Разделы: Стереометрия второй части