Задания ЕГЭ | Математика (профильная)
Тема: Числовые наборы на карточках/досках
Из пары натуральных чисел 
где 
за один ход получают пару 
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары 
пару, большее число в которой равно 400?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары 
пару 
?
в) Какое наименьшее a может быть в паре 
из которой за несколько ходов можно получить пару 
?
за один ход получается пара 
за два хода получается пара 
за три хода получается пара 
а за четыре хода получается пара 
можно получить только пары
невозможно получить за несколько ходов из пары 
получается из пары 
которая получается из пары 
Пару 
невозможно получить за один ход ни из какой пары, поскольку числа 403 и 394 имеют разную чётность. Следовательно, наименьшее число
из которой за несколько ходов можно получить пару 
равно 403.Тема: Сюжетные задачи
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какойто юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
юношей отправили 5 писем и у юношей отправили 16 писем, тогда количество девушек равно 
(так как по условию в группе порону юношей и девушек) и количество отправленных писем равно 
писем.
человек (юношей и девушек) значит 11 девушек получили по 7 писем.
писем, тогда 
должно делиться на 
а 
на 
а 
(
и 
- должны быть минимальны т. е 1).
юношей отправили 5 писем и 
юношей отправили 16 писем, получаем 
а число писем, которые получили нужно найти с помощью прогрессии.
- Невозможно так как юношей не менее двух.
т. е 
письма.Тема: Свойства чисел
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых трех, четырех, пяти или шести чисел является целым числом. Одно из записанных чисел равно 300322.
а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число 312?
- среднее арифметическое, в которое будет входить число 30032.
- среднее арифметическое, в которое будет входить число 312.
- некоторые числа.
и 
целые числа и они делятся на 3, значит и их разность делится на 3.
( не может 312 быть на доске).Тема: Числовые наборы на карточках/досках
На столе лежат 4 камня по 5 кг и 13 камней по 14 кг. Их разделили на 2 кучки.
а) Может ли разность масс двух этих кучек камней быть равна 6 кг?
б) Могут ли массы двух этих кучек быть равны?
в) Какая наименьшая положительная разность масс может быть у двух этих кучек камней?
кг.
Тогда во второй кучке камней по 5 кг: 
Тогда во второй кучке камней по 14 кг: 
должно давать остаток -1 при делении на 5, то есть 
то 
то есть 
но должно быть 
то 
но 
должно быть положительное.
то 
но 
при 
то минимум выражения достигается при 
и равен 6.
то минимум выражения достигается при 
и равен 4.
то минимум выражения достигается при 
и равен 10.
и 
симметричны вариантам 
и 
таким образом, минимальная разность равна 4.
кг.Тема: Свойства чисел
Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны 45.
а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205?
б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?
, а 
Тема: Свойства чисел
Дано натуральное число. Можно либо вычесть из него утроенную сумму его цифр, либо прибавить к нему утроенную сумму его цифр. При этом полученное число должно быть натуральным.
a) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 29?
б) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 31?
в) Какое наименьшее натуральное число можно получить из 128 с помощью таких операций?
Тема: Свойства чисел
На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 4 до 18 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 8?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 7?
в) Помимо полученных разностей соседних чисел, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа 
можно так расставить числа, чтобы все разности (соседних чисел и чисел, стоящих через одно) были не меньше 
Рассмотрим числа от 4 до 8. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то найдётся разность меньше 5. Иначе они стоят через два, поскольку всего чисел 15. В этом случае число 9 стоит рядом или через одно с каким-то числом от 5 до 8 и найдётся разность меньше 5.
все разности не меньше 4.Тема: Свойства чисел
На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 6 до 23 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 9?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 8?
в) Помимо полученных разностей соседних чисел, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого
наибольшего целого числа 
можно так расставить числа, чтобы все разности (соседних чисел и чисел, стоящих через одно) были не меньше 
?
все разности не меньше 8.
Рассмотрим числа от 6 до 11. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то найдётся разность меньше 6. Иначе они стоят через два, поскольку всего чисел 18. В этом случае число 12 стоит рядом или через одно с каким-то числом от 7 до 11 и найдётся разность меньше 6.
все разности не меньше 5.Тема: Свойства чисел
Пусть 
обозначает двузначное число, равное 
где 
и 
- цифры, 
а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры 
и 
что 
?
б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры и 
если среди цифр и 
есть цифра 7?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение 
если цифры и 
различны и среди них есть цифры 4 и 7?
и 
чтобы 
Это верно, например, при 
и 
Значит, если 
то 
и 
равна 7, то одно из произведений 
или 
делится на 7, а значит, и другое произведение тоже должно делиться на 7. Это невозможно, так как в этом случае среди цифр 
и 
то 
и 
равно 
оно достигается при 
и 
Тема: Свойства чисел
Пусть 
обозначает двузначное число, равное 
где 
и 
- цифры, 
а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры 
и 
что 
?
б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры и 
если среди цифр и 
есть цифра 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение 
если цифры и 
различны и среди них есть цифры 4 и 5?
и 
чтобы 
Это верно, например, при 
и 
Значит, если 
то 
и 
равна 5, то одно из произведений 
или 
делится на 5, а значит, и другое произведение тоже должно делиться на 5. Это невозможно, так как в этом случае среди цифр 
и 
то 
и 
равно 
оно достигается при 
и 
Тема: Свойства чисел
Пусть 
обозначает двузначное число, равное 
где 
и 
- цифры, 
а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры 
и 
что 
?
б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры 
и 
если среди цифр 
и 
есть цифра 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение 
если цифры 
и 
различны и среди них есть цифры 4 и 6?
и 
чтобы 
Это верно, например, при 
и 
Значит, если 
то 
и 
и 
равна 5, то одно из произведений 
или 
делится на 5, а значит, и другое произведение тоже должно делиться на 5. Это невозможно, так как в этом случае среди цифр 
и 
есть по крайней мере две цифры 5.
Рассмотрим все возможные случаи, когда среди цифр 
и 
есть цифры 4 и 6.
и 
то 
и 
то 
, то
равно 
оно достигается при 
и 
Тема: Свойства чисел
Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 105 камней, во второй - 106, в третьей - 107, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Мог ли в первой коробке оказаться 101 камень, во второй - 106, в третьей - 107, а в четвёртой - 4?
б) Могло ли во второй коробке оказаться 318 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
и 
камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо 
и 
камня, либо 
и 
камень, либо 
и 
и 
камней суммарно, а в первой коробке не больше 315 камней.Тема: Свойства чисел
Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 109 камней, во второй - 110, в третьей - 111, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 105 камней, во второй - 110, в третьей - 111, а в четвёртой - 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 330 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
и 
камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо 
и 
камня, либо 
и 
камень, либо 
и 
и 
камней суммарно, а в первой коробке не больше 327 камней.Тема: Свойства чисел
Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 93 камня, во второй - 94, в третьей - 95, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 89 камней, во второй - 94, в третьей - 95, а в четвёртой - 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 282 камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
и 
камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо 
и 
камня, либо 
и 
камень, либо 
и 
камень, либо 
и 
камней суммарно, а в первой коробке не больше 279 камней.Тема: Свойства чисел
Сумма цифр трёхзначного числа 
равна 
а) Может ли произведение 
быть равно 1435?
б) Может ли произведение 
быть равно 1436?
в) Найдите наименьшее значение произведения 
если известно, что оно больше 1918.
делится на 3, то 
делится на 3. Если число 
Пусть 
где 
Тогда 
на 9 совпадает с остатком от деления 
на 9. Этот остаток может быть равен 
или 7, поскольку 
Таким образом, остаток от деления произведения 
а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число только следующим способом:
а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:
равна 13. Следовательно, для этого числа 
большее 1918, равно 1924.Тема: Свойства чисел
Из пары натуральных чисел 
где 
за один ход получают пару 
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары 
пару, большее число в которой равно 
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары 
пару 
в) Какое наименьшее a может быть в паре 
из которой за несколько ходов можно получить пару 
за один ход получается пара 
за два хода получается пара 
за три хода получается пара 
а за четыре хода получается пара 
получается пара 
а за два хода получается пара 
Следовательно, из пары 
можно получить только пары 
и 
где k – неотрицательное целое число. Число 
не равно 
и 
а значит, пару 
невозможно получить за несколько ходов из пары 
за один ход можно получить только из пары 
при условии, что числа 
и 
одной чётности.
получается из пары 
которая получается из пары 
Пару 
невозможно получить за один ход ни из какой пары, поскольку числа 
и 
имеют разную чётность. Следовательно, наименьшее число 
в паре 
из которой за несколько ходов можно получить пару 
равно 
Тема: Свойства чисел
Из пары натуральных чисел 
где 
за один ход получают пару 
a) Можно ли из пары 
за несколько ходов получить пару, в которой наибольшее число 600?
б) Можно ли из пары 
за несколько ходов получить пару 
в) Какое наименьшее a должно быть в паре, из которой можно получить пару 
получаем пару 
a и b натуральные, поэтому очевидно, что 
Тогда из пары 
получим пару 
т. е. за два хода оба числа удваиваются. Тогда, если сделать 4 хода, 150 удвоится 2 раза, и получится 600.
мы получим пару 
Дальнейшие пары будут иметь вид 
либо 
Число 1190 кратно 17, а из данных чисел ни одно не кратно 17, значит получить его нельзя.
дала пару 
то 
и 
Тогда 
и 
За 2 хода числа удваиваются, осталось построить предыдущие пары делением на 2. Пара 
вообще не получается удвоением, а пара 
получается удвоением пары 
которую уже нельзя поделить на 2. Тогда наибольшее 
Тема: Числовые наборы на карточках/досках
На доске написано трехзначное число 
Сережа зачеркивает одну цифру и получает двузначное число 
затем Коля записывает число 
и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что и Сережа), и получает число С.
a) Может ли быть верным уравнение 
если 
б) Может ли быть верным уравнение 
если 
в) Найдите наибольшее число 
до 900, чтобы было верным уравнение 
что больше 500, значит такое невозможно.
Докажем, что для больших чисел такая ситуация невозможна. Очевидно, что 
Рассмотрим числа от 812 до 899 включительно. Они все начинаются на 8. Если оба получившихся двузначных числа сохраняют первую восьмерку, то их произведение больше 
Если первую восьмерку сохраняет одно из них, то одно число не меньше 80 (состоит из первых двух цифр числа), а второе не меньше 12 (состоит из двух последних цифр числа), тогда их произведение не меньше 
Если ни одно из чисел не сохраняет первую цифру, то эти два числа одинаковы, а число А является их произведением и следовательно квадратом целого числа. 
но при отбрасывании 8 получаем 41 и 
Значит, такой вариант тоже невозможен. Тогда наибольшим подходящим числом будет 810. Тема: Сюжетные задачи
Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.
а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см?
б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см?
в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?
Тема: Свойства чисел
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?