Задание 5211
Вопрос
Пусть 
обозначает двузначное число, равное 
где 
и 
- цифры, 
а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры 
и 
что 
?
б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры и 
если среди цифр и 
есть цифра 7?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение 
если цифры и 
различны и среди них есть цифры 4 и 7?
Решение:
а) Да. Действительно, поскольку
нужно подобрать такие попарно различные ненулевые цифры 
и 
чтобы 
Это верно, например, при 
и 
б) Докажем, что это невозможно. Имеем 
Значит, если 
то 
и 
Поскольку одна из цифр и 
равна 7, то одно из произведений 
или 
делится на 7, а значит, и другое произведение тоже должно делиться на 7. Это невозможно, так как в этом случае среди цифр и есть по крайней мере две цифры 7.
в) Как показано выше, имеем Рассмотрим все возможные случаи, когда среди цифр и есть цифры 4 и 7.
Если цифры 4 и 7 - это 
и 
то 
Если цифры 4 и 7 - это 
и то 
Если цифра 4 - это и а цифра 7 - это или , то
Если цифра 7 - это или а цифра 4 - это или то
Значит, наибольшее возможное значение выражения 
равно 
оно достигается при 
и 
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в, и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в -2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) нет; в) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
Темы: Свойства чисел
Разделы: Задачи на теорию чисел