Задание 5587
Вопрос
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.
а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417?
б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 563?
в) Найдите минимальное 
при котором на доске одновременно записаны числа 1 и 
Решение:
Среднее арифметическое 
Рассмотрим 4 любых числа:
Вычтем эти 2 уравнения
следовательно разность любых 2-ух чисел делиться на 4, аналогично с 7 любыми числами т. е разность любых 2-ух чисел делится на 4 и 7 (и на 28 делится)
а) 
не делится на 4
нет, не может.
б) 
имеет остаток 3 при делении на 4, т. е все числа имеют остаток 3 при делении на 4.
Их вид: 
но квадраты чисел имеют вид 
или 
невозможно.
в) 
или 
или 
если 
если 
если 
Пример: 
Ответ: а) нет б) нет в) 13
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
Темы: Числовые наборы на карточках/досках
Разделы: Задачи на теорию чисел