Старт
Вопрос:
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.
а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417?
б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 563?
в) Найдите минимальное 
при котором на доске одновременно записаны числа 1 и 
Решение:
Среднее арифметическое 
Рассмотрим 4 любых числа:
Вычтем эти 2 уравнения
следовательно разность любых 2-ух чисел делиться на 4, аналогично с 7 любыми числами т. е разность любых 2-ух чисел делится на 4 и 7 (и на 28 делится)
а) 
не делится на 4
нет, не может.
б) 
имеет остаток 3 при делении на 4, т. е все числа имеют остаток 3 при делении на 4.
Их вид: 
но квадраты чисел имеют вид 
или 
невозможно.
в) 
или 
или 
если 
если 
если 
Пример: 
Ответ: а) нет б) нет в) 13
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
