Задание 5578
Вопрос
На доске записано 
последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 25, меньше, чем чисел, делящихся на 29.
а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 25?
б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 25?
в) Найдите наибольшее возможное значение 
Решение:
а) да, например, если последовательность начинается с 87 до 174, то 3 числа делятся на 25 (100, 125, 150) и 4 числа делятся на 29 (87, 116, 145 и 174).
б) Допустим есть последовательность содержащая 10 чисел, делящихся на 25. Тогда чисел делящихся на 29 не менее 11 (так как их количество должно быть больше по условию).
Чтобы было 11 чисел делящихся на 29, последовательность должна состоять из 10 отрезков по 29 числа (т. е 29...58) + одно число кратное 29.
Разобьем числа на блоки по 25 чисел: в одном блоке только 1 число делится на 25. Тогда таких полных блоков не более 10, и вне блоков может остаться не более 24 чисел.
Среди 291 подряд идущих чисел не менее 
кратных 20 
нет, не может.
в) Пусть количество чисел, кратных 25, равно 
Тогда чисел, кратных 29, 
Причем чисел, кратных 25 не менее:
следовательно чисел кратных 25 не более 5
Например последовательность от 551 до 669.
Ответ: а) да б) нет в) 149
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
Темы: Числовые наборы на карточках/досках
Разделы: Задачи на теорию чисел