Старт
Вопрос:
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30021.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом 
Найдите наименьшее возможное значение 
Решение:
Среднее арифметическое 
- сумма, 
- количество.
Рассмотрим 3 любых числа:
Вычтем эти 2 уравнения
следовательно разность любых 2-ух чисел делиться на 3, аналогично с 4, 5, 6 любыми числами т. е разность любых 2-ух чисел делится на 3, 4, 5 и 6 (и на 60).
а) 
не делится на 4
нет, не может.
б) Так как у нас по условию 30021 находится на доске, можно сделать общий вид для всех чисел 
(Так как 
дает остаток 21).
Заметим 
таким образом при умножении на 11 остаток от деления на 60 изменится (Нет не может).
в) Необходимо, что 
давало остаток 21 при делении на 60.
т. е 
Таким образом необходимо, чтобы 
Т. е 
должно делиться на 20 
Возьмем наименьшее 
Например: 
Таким образом наименее возможное 
Ответ: а) нет б) нет в) 21
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
