Задание 5357
Вопрос
На столе лежат 4 камня по 5 кг и 13 камней по 14 кг. Их разделили на 2 кучки.
а) Может ли разность масс двух этих кучек камней быть равна 6 кг?
б) Могут ли массы двух этих кучек быть равны?
в) Какая наименьшая положительная разность масс может быть у двух этих кучек камней?
Решение:
а) Да, может.
Если в первой кучке 4 камня по 5 кг и 6 камней по 14 кг, то масса кучки будет равна 104 кг. Тогда во второй кучке только 7 камней по 14 кг, а её масса равна 98 кг. Тогда их разность равна 
кг.
б) Пусть в первой кучке камней по 5 кг: 
Тогда во второй кучке камней по 5 кг: 
Пусть в первой кучке камней по 14 кг: 
Тогда во второй кучке камней по 14 кг: 
Тогда должно выполняться условие:
Заметим, что 
должно давать остаток -1 при делении на 5, то есть это либо 4, либо 9, либо 14.
Если 
то 
то есть 
но должно быть 
Если 
то 
но 
должно быть положительное.
Если 
то 
но должно быть больше либо равно 0.
Значит такое невозможно, ответ: б) нет.
в) Надо найти минимум выражения 
при 
Если 
то минимум выражения достигается при 
и равен 6.
Если 
то минимум выражения достигается при 
и равен 4.
Если 
то минимум выражения достигается при 
и равен 10.
Варианты 
и 
симметричны вариантам 
и 
таким образом, минимальная разность равна 4.
Достигается она в случае, если в первой кучке 1 камень по 5 кг и 7 камней по 14 кг.
Тогда масса кучки будет равна 103 кг.
Тогда во второй кучке 3 камня по 5 кг и 6 камней по 14 кг, а её масса равна 99 кг.
Тогда их разность равна 
кг.
Ответ: а) Да, может б) Нет, не может в) 4 кг
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
Темы: Числовые наборы на карточках/досках
Разделы: Задачи на теорию чисел