Задание 5109

Решение:
а) Сумма цифр числа 205 равна 7. Таким образом, произведение этого числа и суммы его цифр равно 1435.
б) Заметим, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 3, как и само число. Следовательно, если число делится на 3, то делится на 3. Если число не делится на 3, то даёт остаток 1 при делении на 3. Число 1436 даёт остаток 2 при делении на 3, значит, оно не может быть равно произведению
в) Заметим, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 9, как и само число. Следовательно, даёт такой же остаток при делении на 9, как и Пусть где Тогда
то есть остаток от деления  на 9 совпадает с остатком от деления  на 9. Этот остаток может быть равен или 7, поскольку принимает
значения Таким образом, остаток от деления произведения на 9 может быть равен или 7.
Будем последовательно рассматривать числа, бо́льшие 1918, для которых остаток от деления на 9 равен или 7.
Число 1921 даёт остаток 4 при делении на 9. Это число раскладывается в произведение простых множителей следующим образом: а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число только следующим способом:

В этом случае первый множитель не равен сумме цифр второго множителя. Число 1924 даёт остаток 7 при делении на 9. Это число раскладывается в произведение простых множителей следующим образом:  а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:

Сумма цифр трёхзначного числа равна 13. Следовательно, для этого числа
Таким образом, наименьшее значение произведения большее 1918, равно 1924.

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в, и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в -2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 1924

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)