Задание 5272
Вопрос
Дано натуральное число. Можно либо вычесть из него утроенную сумму его цифр, либо прибавить к нему утроенную сумму его цифр. При этом полученное число должно быть натуральным.
a) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 29?
б) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 31?
в) Какое наименьшее натуральное число можно получить из 128 с помощью таких операций?
Решение:
а) Построим подходящий пример:
б) Заметим, что утроенная сумма цифр натурального числа делится на 3. Тогда если к натуральному числу прибавить или вычесть из него утроенную сумму его цифр, то остаток при делении на 3 не изменится. Значит, у всех полученных чисел остаток будет таким же, как у числа 128.
Число 128 дает остаток 2 при делении на 3. Значит, у чисел, полученных в результате таких операций, остаток также будет равен 2. Так как число 31 дает остаток 1 при делении на 3, то из 128 не могло получиться число 31.
в) Наименьшее натуральное число - это 1. Так как 1 дает остаток 1 при делении на 3, а 128 - остаток 2, то из числа 128 не могло получиться число 1. Тогда наименьшее число, которое могло получиться из 128, - это 2. Приведем два примера на число 2:
1) 
2) 
Примечание. В решении пункта в) достаточно привести один пример.
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) - 2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) нет; в) 2
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
Темы: Свойства чисел
Разделы: Задачи на теорию чисел