Задание 5594
Вопрос
На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 567 и 1414?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 567?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 
и его квадрат 
Найдите наименьшее возможное значение 
Решение:
Среднее арифметическое 
Рассмотрим 4 любых числа:
Вычтем эти 2 уравнения
следовательно разность любых 2-ух чисел делиться на 4, аналогично с 7 любыми числами т. е разность любых 2-ух чисел делится на 4 и 7 (и на 28 делится)
а) 
не делится на 4
нет, не может.
б) 
имеет остаток 3 при делении на 4, т. е все числа имеют остаток 3 при делении на 4.
Их вид: 
но квадраты чисел имеют вид 
или 
невозможно.
в) 
т. е один из множителей должен быть кратен 7.
если 
если 
Следовательно 
Пример: 
Ответ: а) нет б) нет в) 8
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
Темы: Числовые наборы на карточках/досках
Разделы: Задачи на теорию чисел