Задание 4963
Вопрос
На доске написано трехзначное число 
Сережа зачеркивает одну цифру и получает двузначное число 
затем Коля записывает число 
и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что и Сережа), и получает число С.
a) Может ли быть верным уравнение 
если 
б) Может ли быть верным уравнение 
если 
в) Найдите наибольшее число 
до 900, чтобы было верным уравнение 
Решение:
а) Да, может, например, 
б) При вычеркивании любой цифры получившееся двузначное число будет не меньше 40, тогда произведение будет не меньше 
что больше 500, значит такое невозможно.
в) Заметим, что 
Докажем, что для больших чисел такая ситуация невозможна. Очевидно, что 
Рассмотрим числа от 812 до 899 включительно. Они все начинаются на 8. Если оба получившихся двузначных числа сохраняют первую восьмерку, то их произведение больше 
Если первую восьмерку сохраняет одно из них, то одно число не меньше 80 (состоит из первых двух цифр числа), а второе не меньше 12 (состоит из двух последних цифр числа), тогда их произведение не меньше 
Если ни одно из чисел не сохраняет первую цифру, то эти два числа одинаковы, а число А является их произведением и следовательно квадратом целого числа. 
но при отбрасывании 8 получаем 41 и 
Значит, такой вариант тоже невозможен. Тогда наибольшим подходящим числом будет 810.
Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов
Ответ: а) да; б) нет; в) 810
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
Темы: Числовые наборы на карточках/досках
Разделы: Задачи на теорию чисел