Задания ЕГЭ | Математика (профильная)

Решение:
Исходное уравнение равносильно уравнению

Рассмотрим два случая. Первый случай:



Второй случай:





Корни и совпадают при Объединяя результаты, получаем, что исходное уравнение:
— при не имеет корней;
— при имеет один корень
— при имеет два корня и
— при имеет один корень
Таким образом, уравнение имеет ровно один корень при или при

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений  – 2 балла
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)  – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:








При  и первая, и вторая системы совокупности имеют решения, значит, весь этот промежуток нам не подходит.
При  имеется бесконечное число решений, следовательно, такое  нам тоже не подходит.
При  только вторая система имеет решение, причем ровно одно, такие  нам подходят.
При  обе системы имеют по одному решению, такие  нам не подходят.
При  только первая система имеет решение, причем ровно одно, такое  нам подходит.
Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень при 

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений  отличаюшееся от искомого конечным числом точек - 3 балла
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений  - 2 балла
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений  - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
ОДЗ:




и
 

Если  то  один корень,а нам нужно два корня - 
Учитывая ОДЗ:

Обоснованно получен правильный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получены все значения но некоторые граничные точки включены/исключены неверно - 3 балла
С помощью верного рассуждения получены не все значения - 2 балла
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
ОДЗ:




и
 

Если  то  один корень,а нам нужно два корня - 
Учитывая ОДЗ:

Обоснованно получен правильный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получены все значения но некоторые граничные точки включены/исключены неверно - 3 балла
С помощью верного рассуждения получены не все значения - 2 балла
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
(2 корня)

1)  - парабола.
- вершина.
2)  - окружность.
- центр.

Найдём точки пересечения окружности и параболы:
 







2 решения:

Обоснованно получен правильный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получены все значения но некоторые граничные точки включены/исключены неверно - 3 балла
С помощью верного рассуждения получены не все значения - 2 балла
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
- 2 решения

1) 
Парабола 

x	-1	0		1	2
a	2	0		0	2

2) 

Обоснованно получен правильный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получены все значения но некоторые граничные точки включены/исключены неверно - 3 балла
С помощью верного рассуждения получены не все значения - 2 балла
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Преобразуем исходное уравнение:


Корнями этого уравнения являются корни уравнения

не равные и −3.
Если является корнем уравнения

то 

откуда  или 
Если является корнем уравнения

то   откуда  или 
Решим уравнение при при полученных значениях
- при исходное уравнение имеет единственный корень
- при исходное уравнение имеет единственный корень
- при исходное уравнение имеет единственный корень
Дискриминант квадратного уравнения
равен

Значит, уравнение 
- имеет ровно два различных корня при 
- имеет ровно один корень при или 
- не имеет корней при  или 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень при
 

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения найдены точки  и  множества значений - 3 балла
С помощью верного рассуждения найдены точки  и  множества значений  ИЛИ Обоснованно получена хотя бы одна из точек множества значений  и  - 2 балла
Задача верно сведена к исследованию корней уравнения  ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:  

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Преобразуем исходное уравнение:


Корнями этого уравнения являются корни уравнения

не равные и −3.
Если является корнем уравнения

то 

откуда  или 
Если является корнем уравнения

то   откуда  или 
Решим уравнение при при полученных значениях
- при исходное уравнение имеет единственный корень
- при исходное уравнение имеет единственный корень
- при исходное уравнение имеет единственный корень
Дискриминант квадратного уравнения
равен

Значит, уравнение 
- имеет ровно два различных корня при 
- имеет ровно один корень при или 
- не имеет корней при  или 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень при
 

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения найдены точки  и  множества значений - 3 балла
С помощью верного рассуждения найдены точки  и  множества значений  ИЛИ Обоснованно получена хотя бы одна из точек множества значений  и  - 2 балла
Задача верно сведена к исследованию корней уравнения  ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:  

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Преобразуем исходное уравнение:


Корнями этого уравнения являются корни уравнения

не равные и −3.
Если является корнем уравнения

то 

откуда  или 
Если является корнем уравнения

то   откуда  или 
Решим уравнение при при полученных значениях
- при исходное уравнение имеет единственный корень
- при исходное уравнение имеет единственный корень
- при исходное уравнение имеет единственный корень
Дискриминант квадратного уравнения
равен

Значит, уравнение 
- имеет ровно два различных корня при 
- имеет ровно один корень при или 
- не имеет корней при  или 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень при
 

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения найдены точки  и  множества значений - 3 балла
С помощью верного рассуждения найдены точки  и  множества значений  ИЛИ Обоснованно получена хотя бы одна из точек множества значений  и  - 2 балла
Задача верно сведена к исследованию корней уравнения  ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:  

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Данное уравнение равносильно системе:

Пусть 
Поскольку  для  получаем:  при  и  при 
Тогда уравнение принимает вид  Оно имеет корни  и Поскольку  корень  исключаем.
При  должно выполняться условие  получим:

откуда 
При  должно выполняться условие  получим:

откуда 
При исходное уравнение имеет хотя бы одно решение.

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений  отличающееся от искомого только включением точек и/или  - 3 балла
С помощью верного рассуждения получено одно из множеств или  множества значений возможно, с исключением точек  или  ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 2 балла
Найдены корни уравнения  при  и и задача верно сведена к исследованию корней уравнений  и/или  при  и - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Данное уравнение равносильно системе:

Пусть 
Поскольку  для  получаем:  при  и  при 
Тогда уравнение принимает вид  Оно имеет корни  и Поскольку  корень  исключаем.
При  должно выполняться условие  получим:

откуда 
При  должно выполняться условие  получим:

откуда 
При исходное уравнение имеет хотя бы одно решение.

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений  отличающееся от искомого только включением точек и/или  - 3 балла
С помощью верного рассуждения получено одно из множеств или  множества значений возможно, с исключением точек  или  ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 2 балла
Найдены корни уравнения  при  и и задача верно сведена к исследованию корней уравнений  и/или  при  и - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Данное уравнение равносильно системе:

Пусть 
Поскольку  для  получаем:  при  и  при 
Тогда уравнение принимает вид  Оно имеет корни  и Поскольку  корень  исключаем.
При  должно выполняться условие  получим:

откуда 
При  должно выполняться условие  получим:

откуда 
При исходное уравнение имеет хотя бы одно решение.

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений  отличающееся от искомого только включением точек и/или  - 3 балла
С помощью верного рассуждения получено одно из множеств или  множества значений возможно, с исключением точек  или  ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 2 балла
Найдены корни уравнения  при  и и задача верно сведена к исследованию корней уравнений  и/или  при  и - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Рассмотрим неравенство как квадратное относительно


Изобразим графики функций  и на плоскости

Общие точки графиков -  и  что можно проверить подстановкой их координат в уравнения  и 
Больше двух точек быть не может в силу противоположной выпуклости данных кривых. На промежутке  решения неравенства есть тогда и только тогда, когда 

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки - 3 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений  возможно, не включая концы. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 2 балла
Задача верно сведена к исследованию возможного значения корней уравнения - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Рассмотрим неравенство как квадратное относительно


Изобразим графики функций  и на плоскости

Общие точки графиков -  и  что можно проверить подстановкой их координат в уравнения  и 
Больше двух точек быть не может в силу противоположной выпуклости данных кривых. На промежутке  решения неравенства есть тогда и только тогда, когда 

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки  - 3 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений  возможно, не включая концы. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 2 балла
Задача верно сведена к исследованию возможного значения корней уравнения - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Рассмотрим неравенство как квадратное относительно


Изобразим графики функций  и на плоскости

Общие точки графиков -  и  что можно проверить подстановкой их координат в уравнения  и 
Больше двух точек быть не может в силу противоположной выпуклости данных кривых. На промежутке  решения неравенства есть тогда и только тогда, когда 

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки - 3 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений  возможно, не включая концы. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 2 балла
Задача верно сведена к исследованию возможного значения корней уравнения - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
ОДЗ:

Именно так, потому что если это не так, то исходное уравнение не имеет решений по определению, а если это так, то при возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения, подкоренное выражение будет автоматически приравнено к квадрату, а значит автоматически становится неотрицательным.
Если удастся получить три различных корня, то есть их представление в виде выражений, содержащих то в конце обязательно нужно будет подставить эти выражения в правую часть исходного уравнения и проверить выполнение условия.
Давайте для удобства дальнейшего возведения в квадрат обеих частей исходного уравнения выделим в правой части что-то, что будет похожим на левую.
Теперь возводим обе части в квадрат.

Надо замечать, что произведение скобок это формула разности квадратов, причем там получится –9, а если раскрыть скобки во вором слагаемом, то там получится +9 и не останется слагаемых, содержащих только числа - это очень хорошо. Да и к тому же делать особо нечего.

Графическая интерпретация записанной совокупности такова: есть статичный график  и две прямые, проходящие через Причем совершенно точно известно, что

при любом а. Значит

Качественно различных случаев взаимного расположения параболы и двух прямых только три:
1) когда обе прямые убывают;
2) когда обе прямые возрастают;
3) когда одна прямая убывает, а другая возрастает.
Рисуем:

Первый случай:

Второй случай:

Третий случай:

Если коротко, то объединение трех неравенств запишется так:
При ограничение на ОДЗ выполняется. Теперь нужно подставить наши корни

и проверить выполнение условия.

Итак, окончательно:

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
При  уравнение принимает вид  откуда находим  Корень  удовлетворяет неравенству  при  откуда получаем
При  уравнение принимает вид  При  это уравнение не имеет корней, а при  оно имеет единственный корень  Корень  принадлежит отрезку  при  откуда получаем



Следовательно, уравнение  имеет корень на отрезке  при и 
При  уравнение принимает вид  откуда находим 
Корень  удовлетворяет неравенству  при  откуда получаем 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при  и

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений  отличающееся от искомого только включением точек и/или  - 3 балла
Верно раскрыты модули в исходном уравнении. Задача сведена к исследованию принадлежности корней соответствующим промежуткам в зависимости от значений и хотя бы два случая исследованы верно, при этом исследовано количество корней исходного уравнения при  ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 2 балла
Верно раскрыты модули в исходном уравнении, задача сведена к исследованию принадлежности корней соответствующим промежуткам в зависимости от значений и хотя бы один из случаев исследован верно - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Изобразив систему графически, можно заметить, что задаче удовлетворяют все такие a, для которых выполнено

A и D находятся подстановкой в и соответственно, а B и C находятся при подстановке в и соответственно.

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

ОДЗ:
 
Заметим, что  - функции чётные, они убирают минус, и если (x; y) решение системы, то (-x; y) тоже.
Единственное решение система имеет, если x = 0.

x = 0 
(1)






(0; 1) - решение (1) уравнения.

x = 0; y = 1
(2)

Проверим а = 1.
(2)

Подставим x = 0 в (1).


(0; 1) - единственное решение.

Проверим а = -1.
(2) 






 
- 3 решения.

Ответ: а = 1

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)