Задания ЕГЭ | Математика (профильная)

Решение:
При первое уравнение системы задаёт прямую а при  пару параллельных прямых и заданных уравнениями и соответственно.
Второе уравнение системы задаёт окружность радиусом 3 с центром
в точке
Прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Значит, исходная
система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только
тогда, когда и окружность пересекается с каждой из прямых и
в двух точках.
Число точек пересечения окружности с прямой равно числу корней квадратного уравнения:

Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

откуда 

Число точек пересечения окружности с прямой равно числу корней квадратного уравнения:

Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

откуда

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
При первое уравнение системы задаёт прямую а при  пару параллельных прямых и заданных уравнениями и соответственно.
Второе уравнение системы задаёт окружность радиусом с центром
в точке
Прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Значит, исходная
система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только
тогда, когда и окружность пересекается с каждой из прямых и
в двух точках.
Число точек пересечения окружности с прямой равно числу корней квадратного уравнения:

Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

откуда 

Число точек пересечения окружности с прямой равно числу корней квадратного уравнения:

Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

откуда

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
При первое уравнение системы задаёт прямую а при пару параллельных прямых  и  заданных уравнениями и   соответственно.
Второе уравнение системы задаёт окружность радиусом 4 с центром в точке
Прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Значит, исходная
система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только
тогда, когда и окружность пересекается с каждой из прямых  и в двух точках.
Число точек пересечения окружности с прямой равно числу корней квадратного уравнения:

Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

откуда 

Число точек пересечения окружности  с прямой равно числу корней квадратного уравнения:

Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

откуда 

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при 

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Корнями исходного уравнения являются корни уравнения  для которых выполнено условие 
Поскольку  уравнение  задаёт на плоскости Oxa пару прямых l₁ и l₂, заданных уравнениями
и соответственно. Значит, это уравнение имеет один корень при и имеет два корня при  
Поскольку  уравнение задаёт пару прямых m₁ и m₂, заданных уравнениями  и  соответственно.
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₁ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₁ пересекаются в точке (3; 6).
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₂ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₂ пересекаются в точке (-1; -2).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₁ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₁ пересекаются в точке (-1; 2).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₂ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₂ пересекаются в точке (3; -6).
Следовательно, условие  выполнено для корней уравнения  при всех а, кроме  и 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при  

Обоснованно получен правильный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точки а = 0 - 3 балла
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения, и получено или множество значений a, отличающееся от искомого только 
включением точек a = −6, a = 0 и/или a = 2, или множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек 
a = −2, a = 0 и/или a = 6, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения - 2 балла
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямых (аналитически или графически) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ:  

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Корнями исходного уравнения являются корни уравнения для которых выполнено условие 
Поскольку  уравнение  задаёт на плоскости Oxa пару прямых l₁ и l₂, заданных уравнениями
и соответственно. Значит, это уравнение имеет один корень при a = 0 и имеет два корня при a ≠ 0.
Поскольку 
уравнение  задаёт пару прямых m₁ и m₂, заданных уравнениями и соответственно.
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₁ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₁ пересекаются в точке (2; 6).
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₂ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₂ пересекаются в точке (-1; -3).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₁ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₁ пересекаются в точке (-1; 3).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₂ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₂ пересекаются в точке (2; -6).
Следовательно, условие  выполнено для корней уравнения  при всех а, кроме и 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при   

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точки – 3 балла
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения, и получено или множество значений а, отличающееся от искомого только включением точек и/или или множество значений а, отличающееся от искомого только включением точек и/или ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом вырно выполнены все шаги решения – 2 балла
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямых (аналитически или графически) – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ:   

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Если то уравнение  задаёт окружность  с центром в точке и радиусом 3, а если то оно задаёт окружность с центром в точке и таким же радиусом (см. рисунок). 
При положительных значениях a уравнение  задаёт окружность  с центром в точке  и радиусом a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения a, при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей  и  

Из точки C проведём луч  и обозначим через и точки его пересечения с окружностью где лежит между и Так как 

то 
При или окружности и не пересекаются. 
При окружности и имеют две общие точки.
При или окружности и касаются. 
Из точки проведём луч и обозначим через и точки его пересечения с окружностью где лежит между и Так как 

то
При или окружности и не пересекаются.
При окружности и имеют две общие точки. 
При или окружности и касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как то условию задачи удовлетворяют только числа и 

Обоснованно получен верный ответ - 4 балла
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но
– или в ответ включены также и одно-два неверных значения;
– или решение недостаточно обосновано - 3 балла
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра- 2 балла
Задача сведена к исследованию:
– или взаимного расположения трёх окружностей;
– или двух квадратных уравнений с параметром - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:



Построим графики в системе Oxy:

График функции  - это прямая, которая проходит через точку (-1; 0) при любом значении параметра а.
Пусть точка А имеет координаты (-1; 0).

1) Прямая  проходит через точку С (0; 8) при 
2) Прямая  проходит через точку B (8; 16) при 
3) Найдём, при каком значении параметра а прямая касается 


Чтобы была одна точка касания 

Проверим каждое значение:
тогда для 
Точка (-5; 68) не входит в область определения.
тогда для 
Точка (3; -4) принадлежит области определения.
4) Если  параллельна  то у системы тоже два решения.

Объединим все случаи: 

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Построим график в системе


Найдём точки пересечения прямой и гиперболы:



 – точка
 – точка

Найдём значение параметра а, при котором прямая  проходит через точки и
Точка 

Точка 

Найдём точки касания прямой  и гиперболы:




(точка ),  (точка ).

Таким образом, система имеет ровно два решения при   

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Среднее арифметическое  - сумма,  - количество.
Рассмотрим 3 любых числа:


Вычтем эти 2 уравнения

следовательно разность любых 2-ух чисел делиться на 3, аналогично с 4, 5, 6 любыми числами т. е разность любых 2-ух чисел делится на 3, 4, 5 и 6 (и на 60).
а)  не делится на 3нет, не может.
б) Так как у нас по условию 30035 находится на доске, можно сделать общий вид для всех чисел (Так как  дает остаток 35).
Заметим  таким образом при умножении на 7 остаток от деления на 60 изменится (Нет не может).
в) Необходимо, что  давало остаток 35 при делении на 60.
т. е 

Таким образом необходимо, чтобы 

Т. е  должно делиться на 12
Возьмем наименьшее 
Например:  Таким образом наименее возможное 

Ответ: а) нет б) нет в) 13

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Среднее арифметическое  - сумма,  - количество.
Рассмотрим 3 любых числа:


Вычтем эти 2 уравнения

следовательно разность любых 2-ух чисел делиться на 3, аналогично с 4, 5, 6 любыми числами т. е разность любых 2-ух чисел делится на 3, 4, 5 и 6 (и на 60).
а)  не делится на 3нет, не может.
б) Так как у нас по условию 30032 находится на доске, можно сделать общий вид для всех чисел (Так как  дает остаток 32).
Заметим  таким образом при умножении на 6 остаток от деления на 60 изменится (Нет не может).
в) Необходимо, что  давало остаток 32 при делении на 60.
т. е 

Таким образом необходимо, чтобы 

Т. е  должно делиться на 15
Возьмем наименьшее 
Например:  Таким образом наименее возможное 

Ответ: а) нет б) нет в) 16

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Среднее арифметическое  - сумма,  - количество.
Рассмотрим 3 любых числа:


Вычтем эти 2 уравнения

следовательно разность любых 2-ух чисел делиться на 3, аналогично с 4, 5, 6 любыми числами т. е разность любых 2-ух чисел делится на 3, 4, 5 и 6 (и на 60).
а)  не делится на 4нет, не может.
б) Так как у нас по условию 30021 находится на доске, можно сделать общий вид для всех чисел  (Так как  дает остаток 21).
Заметим  таким образом при умножении на 11 остаток от деления на 60 изменится (Нет не может).
в) Необходимо, что  давало остаток 21 при делении на 60.
т. е 

Таким образом необходимо, чтобы 

Т. е  должно делиться на 20 
Возьмем наименьшее 
Например:  Таким образом наименее возможное 

Ответ: а) нет б) нет в) 21

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
а) Среднее арифметическое всех чисел

Пусть в группе 1 - все 5, а во 2 - все 3 и 4.
Тогда 

б) У нас есть 2 группы по 15 чисел, таким образом  - сумма чисел в 1-ой группе,  - во второй, тогда

Что и требовалось доказать.
в) Если количество "3" равно количеству "5" в 1-ой группе  и 
Если количество "3" больше количества "5", то среднее арифметическое меньше 4 т. е наибольшая дробь меньшая 4: 
Так как в группе хотя бы 1 число должно быть.
Таким образом  не больше  а  не может быть больше 5 т. е

Если в одной группе одна "5", а во 2-ой все оставшиеся

Ответ: а) пример: в 1-ой все "5", во 2-ой все "3" и "4" в) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Среднее арифметическое 
Рассмотрим 4 любых числа:


Вычтем эти 2 уравнения

следовательно разность любых 2-ух чисел делиться на 4, аналогично с 7 любыми числами т. е разность любых 2-ух чисел делится на 4 и 7 (и на 28 делится)
а)  не делится на 4нет, не может.
б)  имеет остаток 3 при делении на 4, т. е все числа имеют остаток 3 при делении на 4.
Их вид:  но квадраты чисел имеют вид  или невозможно.
в) 

т. е один из множителей должен быть кратен 7.
если
если
Следовательно 
Пример: 

Ответ: а) нет б) нет в) 8

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Среднее арифметическое 
Рассмотрим 4 любых числа:


Вычтем эти 2 уравнения

следовательно разность любых 2-ух чисел делиться на 4, аналогично с 7 любыми числами т. е разность любых 2-ух чисел делится на 4 и 7 (и на 28 делится)
а)  не делится на 4нет, не может.
б)  имеет остаток 3 при делении на 4, т. е все числа имеют остаток 3 при делении на 4.
Их вид:  но квадраты чисел имеют вид  или невозможно.
в) 

или 
или 
если
если
если
Пример: 

Ответ: а) нет б) нет в) 13

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
а) да, например, если последовательность начинается с 87 до 174, то 3 числа делятся на 25 (100, 125, 150) и 4 числа делятся на 29 (87, 116, 145 и 174).
б) Допустим есть последовательность содержащая 10 чисел, делящихся на 25. Тогда чисел делящихся на 29 не менее 11 (так как их количество должно быть больше по условию).
Чтобы было 11 чисел делящихся на 29, последовательность должна состоять из 10 отрезков по 29 числа (т. е 29...58) + одно число кратное 29.
Разобьем числа на блоки по 25 чисел: в одном блоке только 1 число делится на 25. Тогда таких полных блоков не более 10, и вне блоков может остаться не более 24 чисел.
Среди 291 подряд идущих чисел не менее кратных 20 нет, не может.
в) Пусть количество чисел, кратных 25, равно
Тогда чисел, кратных 29,
Причем чисел, кратных 25 не менее:



следовательно чисел кратных 25 не более 5

Например последовательность от 551 до 669.

Ответ: а) да б) нет в) 149

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
а) да, например, если последовательность начинается с 69 до 138, то 3 числа делятся на 20 (8, 100, 120) и 4 числа делятся на 23 (69, 92, 115 и 138).
б) Допустим есть последовательность содержащая 10 чисел, делящихся на 20. Тогда чисел делящихся на 23 не менее 11 (так как их количество должно быть больше по условию).
Чтобы было 11 чисел делящихся на 23, последовательность должна состоять из 10 отрезков по 23 числа (т. е 23...46) + одно число кратное 23.
Разобьем числа на блоки по 20 чисел: в одном блоке только 1 число делится на 20. Тогда таких полных блоков не более 10, и вне блоков может остаться не более 19 чисел.
Среди 231 подряд идущих чисел не менее  кратных 20 нет, не может.
в) Пусть количество чисел, кратных 20, равно 
Тогда чисел, кратных 23, 
Причем чисел, кратных 20 не менее:



следовательно чисел кратных 20 не более 6.

Например последовательность от 161 до 299 - 6 кратных 20 и 7 кратных 23.

Ответ: а) да б) нет в) 139

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)