Задания ЕГЭ | Математика (профильная)
Тема: Кредиты
Алексей планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1806000 рублей. Сотрудник банка предложил Алексею два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено ниже.
Вариант 1:
- каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант 2:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 24-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Алексея варианту погашения кредита?
Пусть 
тыс. рублей.
тыс. рублей. Весь этот платёж засчитывается и долг становится равным 
тыс. рублей.
тыс. рублей.
тыс. рублей. И этот платёж полностью засчитывается. Долг погашен. Имеет место равенство: 
Решаем уравнение и находим значение 
тыс. рублей.
тыс. рублей.
тысяч рублей или 2221800 рублей.
тысяч рублей. Тогда вся сумма, взятая в кредит, равна 
Мы ее знаем, это 1806 тысяч рублей, но рассуждать удобнее с использованием введённой переменной 
потому что проценты банк ежемесячно начисляет на остаток долга, т.е. сначала на 
через месяц на 
и т.д. Подсчитаем начисленные банком проценты за всё время кредитования.
от 
и т.д. Получаем:
членов арифметической прогрессии:
тыс. рублей.
плюс проценты 
Итого 
тысяч рублей, то 
тысяч рублей.
тысяч рублей или 2257500 рублей.
рублей.Тема: Кредиты
Виктор планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1962000 рублей. Сотрудник банка предложил Виктору два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено ниже.
Вариант 1:
- каждый январь долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант 2:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 24-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Виктора варианту погашения кредита?
- платеж.
тыс.
тыс.
тыс.
тыс.Тема: Кредиты
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 17 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 29,75 млн. рублей?
- сумма, на которую уменьшается долг каждый год.
(Получили арифметическую прогрессию).
Тема: Кредиты
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года (r – целое число);
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2030 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
– в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.
Тогда последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на январь такова:
откуда 
и 
Тема: Кредиты
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 10 лет под 10% годовых. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2030 года долг составил 800 тыс. рублей;
— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на одну и ту же величину (но уже другую) меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.
Найдите сумму кредита, если общая сумма выплат составила 2090 тыс. рублей.
лет;
вторые пять лет - на 
тыс. руб.Тема: Кредиты
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 650 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
тысяч, тогда 
тысяч рублей.Тема: Кредиты
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
тыс. руб. 
лет 
тыс. руб.:
тыс. руб.Тема: Кредиты
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 375 000 рублей?
рублей, а ежегодная выплата равна 
рублей. Каждый январь долг увеличивается в 
раз.
, а кредит выплачен четырьмя равными платежами, то 
- сумма выплат по кредиту, и она равна 375 тысяч рублей (по условию). Получаем 
рублей.Тема: Оптимизация
По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение — 25 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число 
млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число 
млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение 
, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение 
такое, что при найденном ранее значении 
первоначальные вложения за четыре года вырастут как минимум в четыре раза.
млн вложений, а к началу 
т
млн.
, а в конце проекта 
Тема: Кредиты
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 8 млн рублей.
года, 
- первоначальный размер кредита
млн руб. - наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат превысит 8 млн руб.Тема: Многоугольники и их свойства
Сумма основания трапеции равна 10. а её диагонали равны 6 и 8.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
- параллелограмм
что и требовалось доказать.
по 2-м углам
Тема: Многоугольники и их свойства
На сторонах 
и 
треугольника 
отмечены точки 
и 
соответственно, причём A
Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
а) Докажите, что четырёхугольник 
- параллелограмм.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника 
если отрезки 
и 
перпендикулярны, 
параллелограмм. Что и требовалось доказать.
по теореме косинусов: 
по теореме синусов:
Тема: Окружности и четырехугольники
Дано 
- вписанный пятиугольник, 
- параллелограмм. Докажите, что две стороны пятиугольника равны.
тогда 
(накрест лежащие при 
.
(Как впис. хорды, стяг. равные дуги).Тема: Окружности и треугольники
Высоты 
и 
остроугольного треугольника 
пересекаются в точке 
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника 
до стороны 
если 
и 
сумма 
и 
также равна 180°, значит, вокруг
(центральный и вписанный углы)
- равнобедренный с 
, значит, 
- равносторонний.
И 
смежный с ним, равен 
и 
подобны по двум углам.
) 
Тема: Многоугольники и их свойства
Высоты 
и 
остроугольного треугольника 
пересекаются в точке 
а) Докажите, что 
б) Найдите 
если 
и 
углы 
и 
- прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём 
- её диаметр. Вписанные углы 
и 
опираются на одну дугу, следовательно, 
и 
— прямые, значит, точки 
и 
лежат на окружности с диаметром 
Следовательно,
диаметр описанной окружности 
откуда
имеем:
имеем:
Треугольники 
и 
имеют общий угол 
и 
следовательно, они подобны.
Значит
Тема: Окружности и треугольники
- остроугольный треугольник. Высоты 
и 
пересекаются в точке 
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от центра описанной окружности до 
если 
а 
лежат на окружности с диаметром 
Углы 
и 
равны как вписанные, значит, углы тоже 
и 
тоже равны. Что и требовалось доказать.
- центр описанной окружности треугольника 
- середина стороны 
Требуется вычислить длину отрезка 
Заметим, что
и 
подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, коэффициент подобия равен 
Значит,
равен удвоенному углу 
то есть 
Следовательно, угол 
равен 
Найдем искомое расстояние:
Тема: Окружности и четырехугольники
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке 
Вершины 
и 
равнобедренного прямоугольного треугольника 
с прямым углом 
лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая 
вторично пересекает бóльшую окружность в точке 
а прямая 
вторично пересекает меньшую окружность в точке 
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите 
если радиусы окружностей равны 
и 
- общая касательная двух окружностей, причём точки 
и 
лежат по разные стороны от прямой 
а точки 
лежат по разные стороны от точки 
Тогда по теореме об угле между касательной и хордой
и 
параллельны, поскольку накрест лежащие углы 
и 
при пересечении этих прямых прямой 
равны.
прямой, 
прямоугольные треугольники 
и 
подобны по острому углу с коэффициентом подобия 
тогда 
Тема: Окружности и четырехугольники
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке 
Вершины 
и 
равнобедренного прямоугольного треугольника 
с прямым углом 
лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая 
вторично пересекает бóльшую окружность в точке 
а прямая 
вторично пересекает меньшую окружность в точке 
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите 
если радиусы окружностей равны 
и 
- общая касательная двух окружностей, причём точки 
и 
лежат по разные стороны от прямой 
а точки 
лежат по разные стороны от точки 
Тогда по теореме об угле между касательной и хордой
и 
параллельны, поскольку накрест лежащие углы 
и 
при пересечении этих прямых прямой 
равны.
прямой, 
прямоугольные треугольники 
и 
подобны по острому углу с коэффициентом подобия 
тогда 
Тема: Окружности и четырехугольники
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке 
Вершины 
и 
равнобедренного прямоугольного треугольника 
с прямым углом 
лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая 
вторично пересекает бóльшую окружность в точке 
а прямая 
вторично пересекает меньшую окружность в точке 
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите 
если радиусы окружностей равны 2 и 
- общая касательная двух окружностей, причём точки 
и 
лежат по разные стороны от прямой 
а точки 
лежат по разные стороны от точки 
Тогда по теореме об угле между касательной и хордой
и 
параллельны, поскольку накрест лежащие углы 
и 
при пересечении этих прямых прямой 
равны.
прямой, 
прямоугольные треугольники 
и 
подобны по острому углу с коэффициентом подобия 
тогда 
Тема: Окружности и четырехугольники
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке 
Вершины 
и 
равнобедренного прямоугольного треугольника 
с прямым углом 
лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая 
вторично пересекает бóльшую окружность в точке 
а прямая 
вторично пересекает меньшую окружность в точке 
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите 
если радиусы окружностей равны 7 и 3.
- общая касательная двух окружностей, причём точки 
и 
лежат по разные стороны от прямой 
а точки 
лежат по разные стороны от точки 
Тогда по теореме об угле между касательной и хордой
и 
параллельны, поскольку накрест лежащие углы 
и 
при пересечении этих прямых прямой 
равны.
прямой, 
и 
- диаметры меньшей и большей окружностей соответственно.
прямоугольные треугольники 
и 
подобны по острому углу с коэффициентом подобия 
тогда 
