Задания ЕГЭ | Математика (профильная)
Тема: Окружности и четырехугольники
В треугольнике 
биссектрисы 
и 
пересекаются в точке 
Известно, что около четырёхугольника 
можно описать окружность.
а) Докажите, что угол 
равен 
б) Найдите площадь треугольника 
если его периметр равен 50 и 
и 
углы 
и 
соответственно. Тогда углы 
и 
равны 
и 
соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол 
равен 
Такая же величина вертикального угла 
По условию около четырёхугольника 
можно описать окружность. Следовательно, угол 
дополняет угол 
до 
сумму углов 
Следовательно, 
откуда 
Значит, угол 
является точкой пересечения биссектрис 
и 
она также лежит на биссектрисе угла 
Значит, радиус этой окружности равен длине перпендикуляра 
опущенного из этой точки на сторону 
По доказанному, угол 
равен половине угла 
то есть он равен 
В прямоугольном треугольнике 
лежит катет 
Следовательно, 
равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна 
Тема: Окружности и четырехугольники
В треугольнике 
биссектрисы 
и 
пересекаются в точке 
Известно, что около четырёхугольника 
можно описать окружность.
а) Докажите, что угол 
равен 
б) Найдите площадь треугольника 
если его периметр равен 16 и 
и 
углы 
и 
соответственно. Тогда углы 
и 
равны 
и 
соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол 
равен 
Такая же величина вертикального угла 
По условию около четырёхугольника 
можно описать окружность. Следовательно, угол 
дополняет угол 
до 
сумму углов 
Следовательно, 
откуда 
Значит, угол 
является точкой пересечения биссектрис 
и 
она также лежит на биссектрисе угла 
Значит, радиус этой окружности равен длине перпендикуляра 
опущенного из этой точки на сторону 
По доказанному, угол 
равен половине угла 
то есть он равен 
В прямоугольном треугольнике 
лежит катет 
Следовательно, 
равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна 
Тема: Окружности и четырехугольники
В треугольнике 
биссектрисы 
и 
пересекаются в точке 
Известно, что около четырёхугольника 
можно описать окружность.
а) Докажите, что угол 
равен 
б) Найдите площадь треугольника 
если его периметр равен 41 и 
и 
углы 
и 
соответственно. Тогда углы 
и 
равны 
и 
соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол 
равен 
Такая же величина вертикального угла 
По условию около четырёхугольника 
можно описать окружность. Следовательно, угол 
дополняет угол 
до 
сумму углов 
Следовательно, 
откуда 
Значит, угол 
является точкой пересечения биссектрис 
и 
она также лежит на биссектрисе угла 
Значит, радиус этой окружности равен длине перпендикуляра 
опущенного из этой точки на сторону 
По доказанному, угол 
равен половине угла 
то есть он равен 
В прямоугольном треугольнике 
лежит катет 
Следовательно, 
равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна 
Тема: Окружности и четырехугольники
В треугольнике 
биссектрисы 
и 
пересекаются в точке 
Известно, что около четырёхугольника 
можно описать окружность.
а) Докажите, что угол 
равен 
б) Найдите площадь треугольника 
если его периметр равен 32 и 
и 
углы 
и 
соответственно. Тогда углы 
и 
равны 
и 
соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол 
равен 
Такая же величина вертикального угла 
По условию около четырёхугольника 
можно описать окружность. Следовательно, угол 
дополняет угол 
до 
сумму углов 
и 
Следовательно, 
откуда 
Значит, угол 
равен 
является точкой пересечения биссектрис 
и 
она также лежит на биссектрисе угла 
и является центром вписанной окружности в треугольник 
Значит, радиус этой окружности равен длине перпендикуляра 
опущенного из этой точки на сторону 
По доказанному, угол 
равен половине угла 
то есть он равен 
В прямоугольном треугольнике 
лежит катет 
Следовательно, 
равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна 
Тема: Окружности и четырехугольники
Диагонали равнобедренной трапеции 
с основаниями 
и 
перпендикулярны. Окружность с диаметром пересекает боковую сторону 
в точке 
а окружность с диаметром пересекает основание в точке 
Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
а) Докажите, что точка 
лежит на диагонали 
трапеции 
б) Найдите расстояние от точки до боковой стороны 
если 
лежит на окружности с диаметром 
поэтому прямая 
перпендикулярна прямой 
т.е. 
Аналогично 
- высота треугольника 
- точка пересечения диагоналей трапеции. По условию задачи прямая 
перпендикулярна прямой 
значит, 
пересечения высот 
а значит, на диагонали 
- основание высоты трапеции, опущенной на основание 
равно высоте 
треугольника 
опущенной на сторону 
а так как 
также высота этого треугольника, получаем, что 
Тема: Окружности и четырехугольники
Диагонали равнобедренной трапеции 
с основаниями 
и 
перпендикулярны. Окружность с диаметром пересекает боковую сторону 
в точке 
а окружность с диаметром пересекает основание в точке 
Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
а) Докажите, что точка 
лежит на диагонали 
трапеции 
б) Найдите расстояние от точки до боковой стороны 
если 
лежит на окружности с диаметром 
поэтому прямая 
перпендикулярна прямой 
т.е. 
Аналогично 
- высота треугольника 
- точка пересечения диагоналей трапеции. По условию задачи прямая 
перпендикулярна прямой 
значит, 
пересечения высот 
а значит, на диагонали 
- основание высоты трапеции, опущенной на основание 
равно высоте 
треугольника 
опущенной на сторону 
а так как 
также высота этого треугольника, получаем, что 
Тема: Окружности и четырехугольники
Диагонали равнобедренной трапеции 
с основаниями 
и 
перпендикулярны. Окружность с диаметром 
пересекает боковую сторону 
в точке 
а окружность с диаметром 
пересекает основание 
в точке 
Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
а) Докажите, что точка 
лежит на диагонали 
трапеции 
б) Найдите расстояние от точки 
до боковой стороны 
если 
лежит на окружности с диаметром 
поэтому прямая 
перпендикулярна прямой 
т.е. 
Аналогично 
- высота треугольника 
- точка пересечения диагоналей трапеции. По условию задачи прямая 
перпендикулярна прямой 
значит, 
пересечения высот 
а значит, на диагонали 
- основание высоты трапеции, опущенной на основание 
поэтому
до боковой стороны 
равно высоте 
треугольника 
опущенной на сторону 
а так как 
также высота этого треугольника, получаем, что 
Тема: Окружности и четырехугольники
На стороне 
параллелограмма 
выбрана такая точка 
что 
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник 
окружности лежит на диагонали 
б) Найдите радиус вписанной в треугольник окружности, если 
равнобедренный, следовательно, 
Прямые 
и 
параллельны, следовательно, накрест лежащие углы 
и 
при секущей 
равны.
а значит, луч 
на которой лежит центр вписанной в треугольник 
окружности.
через 
тогда 
По теореме косинусов в треугольнике 
имеем
откуда
в
имеют общую высоту, равную расстоянию между прямыми 
и общую сторону 
перпендикулярную этой высоте. Значит, площадь треугольника 
равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Отсюда найдём радиус 
вписанной в треугольник 
окружности:
Тема: Окружности и четырехугольники
На стороне 
параллелограмма 
выбрана такая точка 
что 
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник 
окружности лежит на диагонали 
б) Найдите радиус вписанной в треугольник 
окружности, если 
равнобедренный, следовательно, 
Прямые 
и 
параллельны, следовательно, накрест лежащие углы 
и 
при секущей 
равны.
а значит, луч 
является биссектрисой угла 
на которой лежит центр вписанной в треугольник 
окружности.
через 
тогда 
По теореме косинусов в треугольнике 
имеем
откуда
в
и параллелограмм 
имеют общую высоту, равную расстоянию между прямыми 
и 
и общую сторону 
перпендикулярную этой высоте. Значит, площадь треугольника 
равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Отсюда найдём радиус 
вписанной в треугольник 
окружности:
Тема: Окружности и системы окружностей
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
и 
соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает 
в точке 
По свойству касательных, проведённых из одной точки, 
и 
Треугольник 
у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный. Вписанный угол 
прямой, поэтому он опирается на диаметр 
Значит, 
Аналогично получаем, что 
Следовательно, прямые 
и 
параллельны. 
и 
подобны, 
Пусть 
тогда 
и 
общая высота, следовательно, 
т.е. 
Аналогично 
Площадь трапеции 
равна 
Вычислим площадь трапеции 
Проведём к 
перпендикуляр 
равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника 
откуда 
и 
Тема: Многоугольники и их свойства
Прямая, перпендикулярная стороне 
ромба 
пересекает его диагональ 
в точке 
диагональ 
в точке 
при чем 
а) Докажите, что сторона делится прямой в отношении 
считая от точки 
б) Найдите сторону ромба, если 
(О - точка пересечения диагоналей ромба)
и отрезок KM:
(треугольники прямоугольные)
и 
- прямоугольные.
подобен 
(пункт а)
Тема: Многоугольники и их свойства
Прямая, перпендикулярная стороне 
ромба 
пересекает его диагональ 
в точке 
диагональ 
в точке 
причем 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь ромба, если 
тогда 
а 
тогда 
а 
по т. Менелая:
по 2 углам (
– общий, 
), тогда 
по двум углам (
как вертикальные, 
) 
.
т. к. 
– острый.
Тема: Окружности и системы окружностей
Две окружности касаются внешним образом в точке 
Прямая 
касается первой окружности в точке 
а второй – в точке 
Прямая 
пересекает первую окружность в точке 
прямая 
пересекает вторую окружность в точке 
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите площадь треугольника 
если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
и 
центры окружностей.
- прямоугольный
и 
- прямоугольные 
AD и BC - диаметры.
(диаметр)
(диаметр)
и 
подобны, следовательно 
и 
есть общая высота, следовательно 
Тема: Уравнения с параметром
Найдите все значения параметра 
при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
тогда 
или 
а при 
уравнение имеет 1 решение.
имеет 2 решения.
имеет 2 решения.
должен быть равен 7 или не давать решения.
не имеет решения:
- 2 решения.
Тема: Системы с параметром
Найдите все значения 
при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
либо является решением уравнения 
откуда 
либо является решением системы:
при условии 
и найдём количество корней получившегося уравнения в зависимости от 
при условии 
Получаем квадратное уравнение 
Дискриминант этого уравнения равен 
имеет два корня при 
имеет единственный корень 
при 
и не имеет корней при 
функция 
принимает наименьшее значение при 
и это значение отрицательно. Следовательно, больший корень уравнения 
удовлетворяет условию 
тогда и только тогда, когда 
откуда 
откуда 
и при 
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при 
Тема: Уравнения с параметром
Найдите все значения 
при каждом из которых уравнение
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
- корень уравнения; 
тогда
(единственное решение). Видно из графика, что система имеет 1 решение.
- единственное решение.
и 
Тема: Системы с параметром
Найдите все значения параметра 
при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Тема: Системы с параметром
Найдите все значения параметра 
при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
имеет два корня и оба корня больше 3.
Тогда имеем систему:
имеет один корень и этот корень меньше 3. Тогда имеем систему:
имеет два корня и эти корни находятся по разные стороны от 3 либо один корень равен 3, а другой корень левее 3. Обозначим 
Тогда имеем систему:
Пересекая множества 
и 
получим 
а значит является решением системы (1).
и 
получим:
Тема: Уравнения с параметром
Найдите все значения параметра 
при которых уравнение 
имеет ровно 4 различных корня.
то 
то 
то 
должно иметь два положительных корня.
график парабола 
значит, чтобы было два положительных корня, график должен пересекать ось 
в правой части плоскости.
- точка вершины;
- дискриминант;
- коэффициент перед 
Тема: Уравнения с параметром
Найдите все значения 
при каждом из которых уравнение 
на отрезке 
имеет ровно один корень.
