Открытый банк заданий ЕГЭ | Математика (профильная)

На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 6 до 23 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 9?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 8?
в) Помимо полученных разностей соседних чисел, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого
наибольшего целого числа можно так расставить числа, чтобы все разности (соседних чисел и чисел, стоящих через одно) были не меньше ?

Пусть  обозначает двузначное число, равное  где  и  - цифры, 
а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры  и что ?
б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры  и если среди цифр и  есть цифра 7?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение  если цифры  и  различны и среди них есть цифры 4 и 7?

Пусть  обозначает двузначное число, равное  где  и  - цифры, 
а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры  и что ?
б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры  и если среди цифр и  есть цифра 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение  если цифры  и  различны и среди них есть цифры 4 и 5?

Пусть  обозначает двузначное число, равное  где  и  - цифры, 
а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры  и что ?
б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры  и если среди цифр и  есть цифра 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение  если цифры  и  различны и среди них есть цифры 4 и 6?

Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 105 камней, во второй - 106, в третьей - 107, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Мог ли в первой коробке оказаться 101 камень, во второй - 106, в третьей - 107, а в четвёртой - 4?
б) Могло ли во второй коробке оказаться 318 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 109 камней, во второй - 110, в третьей - 111, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 105 камней, во второй - 110, в третьей - 111, а в четвёртой - 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 330 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 93 камня, во второй - 94, в третьей - 95, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 89 камней, во второй - 94, в третьей - 95, а в четвёртой - 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 282 камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Сумма цифр трёхзначного числа равна
а) Может ли произведение быть равно 1435?
б) Может ли произведение быть равно 1436?
в) Найдите наименьшее значение произведения если известно, что оно больше 1918.

Из пары натуральных чисел где за один ход получают пару
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары пару, большее число в которой равно
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары пару
в) Какое наименьшее a может быть в паре из которой за несколько ходов можно получить пару

Из пары натуральных чисел где за один ход получают пару
a) Можно ли из пары за несколько ходов получить пару, в которой наибольшее число 600?
б) Можно ли из пары  за несколько ходов получить пару
в) Какое наименьшее a должно быть в паре, из которой можно получить пару