Задание 5271

Решение:
а) Точки лежат на окружности с диаметром Углы и равны как вписанные, значит, углы тоже и тоже равны. Что и требовалось доказать.
б)  Пусть   - центр описанной окружности треугольника   - середина стороны Требуется вычислить длину отрезка Заметим, что


Поэтому треугольники и подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, коэффициент подобия равен Значит,


Угол равен удвоенному углу то есть Следовательно, угол равен Найдем искомое расстояние:

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 18

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)