Задание 5151

Решение:

а) Точка  лежит на окружности с диаметром поэтому прямая перпендикулярна прямой т.е. - высота треугольника Аналогично - высота треугольника Пусть - точка пересечения диагоналей трапеции. По условию задачи прямая перпендикулярна прямой значит, - третья высота треугольника Высоты треугольника пересекаются в одной точке, следовательно, точка  пересечения высот и лежит на прямой а значит, на диагонали
б) Точка - основание высоты трапеции, опущенной на основание поэтому


Трапеция равнобедренная, а её диагонали перпендикулярны, поэтому 
Значит,   
По теореме Пифагора 
Растояние от точки до боковой стороны равно высоте  треугольника опущенной на сторону а так как также высота этого треугольника, получаем, что 
Следовательно, 

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 21,08

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)