Задание 5064 (ЕГЭ Математика (профильная))
Вопрос
Алексей планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1806000 рублей. Сотрудник банка предложил Алексею два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено ниже.
Вариант 1:
- каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант 2:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 24-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Алексея варианту погашения кредита?
Решение:
Первый вариант:
Каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года.
Обозначим сумму кредита через 
Пусть 
тыс. рублей.
1 год. Январь. Банк начислит 15%, и долг станет равным 
Февраль-июнь. Клиент делает первый платёж, равный 
тыс. рублей. Весь этот платёж засчитывается и долг становится равным 
тыс. рублей.
2 год. Январь. Банк начислит 15%, и долг станет равным 
тыс. рублей.
Февраль-июнь. Клиент делает второй платёж, равный первому, т.е. 
тыс. рублей. И этот платёж полностью засчитывается. Долг погашен. Имеет место равенство: 
Решаем уравнение и находим значение 
тыс. рублей.
тыс. рублей.
Таким образом, за два года клиент выплатит банку 
тысяч рублей или 2221800 рублей.
Второй вариант:
В условии сказано: «со 2-го по 14-е число каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца», поэтому обозначим эту величину через 
тысяч рублей. Тогда вся сумма, взятая в кредит, равна 
Мы ее знаем, это 1806 тысяч рублей, но рассуждать удобнее с использованием введённой переменной 
потому что проценты банк ежемесячно начисляет на остаток долга, т.е. сначала на 
через месяц на 
и т.д. Подсчитаем начисленные банком проценты за всё время кредитования.
Это 2% от 
от 
и т.д. Получаем:
Сумму в скобках найдём по формуле суммы первых 
членов арифметической прогрессии:
тыс. рублей.
Банку нужно будет выплатить взятую сумму 
плюс проценты 
Итого 
Так как 
тысяч рублей, то 
тысяч рублей.
Итак, согласно варианту 2 нужно будет выплатить:
тысяч рублей или 2257500 рублей.
Вариант 1 более выгодный, так как платить меньше, разница в выплаченных суммах составит:
рублей.
Обосновано получен верный ответ - 2 балла
Верно построена математическая модель - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: 35700 рублей
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)
Темы: Кредиты
Разделы: Экономические задачи