Старт
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна боковому ребру SA. Медианы треугольника SBC пересекаются в точке M.
а) Докажите, что AM = AD.
б) Точка N — середина AM. Найдите SN, если AD = 6.
Авторизоваться
Открытый банк заданий ЕГЭ
а) Решите уравнение \sqrt{2}\sin^3 x − \sqrt{2}\sin x + \cos^2 x = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{5\pi}{2}; −\pi].
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x^2 - 2ax + 7| = |6a - x^2 - 2x - 1|
имеет более двух различных корней.
Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника ABC вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке L. Прямая, проходящая через точку L и середину N гипотенузы AB, пересекает катет BC в точке M.
а) Докажите, что \angle BML = \angle BAC.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 20 и CM = 3\sqrt{5}.
Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 30 млн рублей.
Решите неравенство \frac{3\lg^2 x − 8}{\lg^2 x − 4} \ge 2.
В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 все рёбра равны 7. На его ребре BB_1 отмечена точка K так, что KB = 4. Через точки K и C_1 проведена плоскость \alpha, параллельная прямой BD_1.
а) Докажите, что A_1P : PB_1 = 1 : 3, где P — точка пересечения плоскости \alpha с ребром A_1B_1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью \alpha.
а) Решите уравнение 2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos x.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2\pi; −\frac{\pi}{2}].
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.
а) Является ли множество {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2^{200}} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12}?
