Открытый банк заданий ЕГЭ

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\frac{x^3 + x^2 - 9a^2 x - 2x + a}{x^3 - 9a^2 x} = 1
имеет ровно один корень.

В прямоугольном треугольнике АВС точки М и N – середины гипотенузы АВ и катета ВС соответственно. Биссектриса угла ВАС пересекает прямую MN в точке L.

а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos \angle BAC = \frac{7}{25}.

Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей.

Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Решите неравенство 27 \cdot 45^x − 27^{x+1} − 12 \cdot 15^x + 12 \cdot 9^x + 5^x − 3^x \le 0.

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 все рёбра равны 8. На рёбрах AA_1 и CC_1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 3, CN = 1.

а) Докажите, что плоскость MNB_1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB_1.

а) Решите уравнение 2\cos^2 x + 2\sin 2x = 3.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{3\pi}{2}; −\frac{\pi}{2}].

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более \frac{2}{11} от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более \frac{2}{5} от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases}
ax^2 + ay^2 - (2a - 5)x + 2ay + 1 = 0,\\
x^2 + y = xy + x
\end{cases}
имеет ровно четыре различных решения.

В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.

а) Докажите, что sin \angle AOD = \sin \angle BOC.
б) Найдите площадь трапеции, если \angle BAD = 90^\circ, а основания равны 5 и 7.

В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом;
— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму взяли кредит в банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.