Открытый банк заданий ЕГЭ

Решите неравенство \frac{31 − 5 \cdot 2^x}{4^x − 24 \cdot 2^x + 128} \ge 0,25.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость \alpha содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость \alpha делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью \alpha.

а) Решите уравнение \frac{\sin x}{\sin^2 \frac{x}{2}} = 4\cos^2 \frac{x}{2}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{9\pi}{2}; −3\pi].

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x^2 + (a + 7)^2 = |x - 7 - a| + |x + a + 7|
имеет единственный корень.

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.

а) Докажите, что AB:BC = AP:PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O – центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD – диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, a BC = 6\sqrt{2}.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год — Долг (в млн рублей)
Июль 2016 — S
Июль 2017 — 0,7S
Июль 2018 — 0,4S
Июль 2019 — 0

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.

Решите неравенство \log_{11}(8x^2 + 7) − \log_{11}(x^2 + x + 1) \ge \log_{11}\left(\frac{x}{x + 5} + 7\right).

Точка E лежит на высоте SO, а точка F — на боковом ребре SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, причём SE : EO = SF : FC = 2 : 1.

а) Докажите, что плоскость BEF пересекает ребро SD в его середине.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BEF, если AB = 8, SO = 14.

а) Решите уравнение \log_5(2 − x) = \log_{25} x^4.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\log_9 \frac{1}{82}; \log_9 8].