Старт
На доске написано число 2045 и ещё несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\left(x + \frac{1}{x-a}\right)^2 - (a + 9)\left(x + \frac{1}{x-a}\right) + 2a(9-a) = 0
имеет ровно 4 решения.
Боковые стороны AB и AC равнобедренного треугольника ABC вдвое больше основания BC. На боковых сторонах AB и AC отложены отрезки AP и CQ соответственно, равные четверти этих сторон.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой PQ в отношении 1:3.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключенного внутри вписанной окружности треугольника ABC, если BC = 4\sqrt{19}.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Решите неравенство \frac{1}{\log_3 x + 4} + \frac{2}{\log_3(3x)} \cdot \left(\frac{2}{\log_3 x + 4} − 1\right) \le 0.
Ребро куба ABCDA_1B_1C_1D_1 равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA_1D_1D и CC_1D_1D соответственно.
а) Докажите, что B_1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B_1KLM.
а) Решите уравнение (49^{\cos x})^{\sin x} = 7^{\sqrt{2}\cos x}.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].
Максим должен был умножить двузначное число на трёхзначное число (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трёхзначное число справа к двузначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз (N — натуральное число) больше правильного результата.
а) Могло ли N равняться 2?
б) Могло ли N равняться 10?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = 4x^2 - 4ax + a^2 + 2a + 2
на множестве |x| \ge 1 не меньше 6.
В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.
а) Докажите, что \angle AMO = \angle DKO.
б) Найдите площадь треугольника AOM, если BC = 10 и AD = 15.
