Открытый банк заданий ЕГЭ

15-го марта планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тысячи рублей?

Решите неравенство \frac{\log_2(2x^2 − 17x + 35) − 1}{\log_7(x + 6)} \le 0.

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA_1 равно 3. На рёбрах AB и B_1C_1 отмечены точки K и L соответственно, причём AK = B_1L = 2. Точка M — середина ребра A_1C_1. Плоскость \gamma параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости \gamma.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью \gamma.

а) Решите уравнение \sqrt{x^3 − 4x^2 − 10x + 29} = 3 − x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\sqrt{3}; \sqrt{30}].

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

а) Может ли S быть равной 16\frac{5}{6}?
б) Может ли S быть равной 369\frac{29}{126}?
в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
\left|\frac{x^2 + ax + 1}{x^2 + x + 1}\right| < 3
выполняется при всех x.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно AM, пересекает сторону AC в точке N; AB = 6, BC = 5, AC = 9.

а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP : PN.

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 25 млн рублей.

Решите неравенство \frac{2^{5+x} − 2^{−x}}{2^{3−x} − 4^{−x}} \ge 2^x.

В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 13, PB = 15, \cos \angle PBA = \frac{48}{65}. Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды PABC.