Открытый банк заданий ЕГЭ

а) Решите уравнение \cos 2x − 3\cos(−x) + 2 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2\pi; \frac{7\pi}{2}].

В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» - процент побед, округлённый до целого, «ничьи» - процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17).

а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?

Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение
x^{10} + (a - 2|x|)^5 + x^2 - 2|x| + a = 0
имеет более трёх различных решений.

Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает диагональ BD в точке K.

а) Докажите, что произведение CK \cdot CE равно площади квадрата.
б) Найдите отношение CK : KE, если \angle ECD = 15^\circ.

Зависимость объёма Q (в шт.) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 15 000 - Р, 1000 \leq P \leq 15 000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q + 5 000 000 рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на 20%, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Решите неравенство \log_2(4x^2 − 1) − \log_2 x \le \log_2\left(5x + \frac{9}{x} − 11\right).

Основание пирамиды PABCD — трапеция ABCD, причём \angle BAD + \angle ADC = 90^\circ. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, прямые AB и CD пересекаются в точке K.

а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды PKBC, если AB = BC = CD = 3, а высота пирамиды равна 8.

а) Решите уравнение 2\cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + \sqrt{3}\sin x = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5\pi}{2}; 4\pi].

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + c + d = 16 и a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 32.
б) Может ли быть a + b + c + d = 29 и a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 29?
в) Пусть a + b + c + d = 1400 и a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 1400. Найдите количество возможных решений числа a.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{3x^2 + 2ax + 1} = x^2 + ax + 1
имеет ровно три различных корня.